Demostrar que $f(x)=e^x\ln⁡ x$ alcanza cada número real como su valor exactamente una vez

Question

¿cómo puedo demostrar que la función $f(x)=e^x\ln x$

alcanza cada número real como su valor exactamente una vez. (demostrando que es una función continua monótona)?

Answer 1

La función se define para $x>0$ ; debería ser fácil demostrar que $$ \lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to\infty}f(x)=\infty $$ por lo que el rango de la función es $\mathbb{R}$ porque

La derivada es $$ f'(x)=\frac{e^x}{x}(1+x\ln x) $$

Considere $g(x)=1+x\ln x$ Entonces $$ g'(x)=1+\ln x $$ que se desvanece para $x=e^{-1}$ y $g(e^{-1})=1-e^{-1}>0$ .

¿Puede concluir?

Answer 2

Toma su derivado: $f'(x)=e^x \ln x + \frac{e^x}{x}$ y observe que siempre es estrictamente mayor que 0.

Esto demuestra que es estrictamente creciente por lo tanto inyectiva, por lo que si se alcanza cada número real, que también exactamente una vez.

Ahora, porque $\lim_{x\rightarrow 0} f(x) = -\infty$ y $\lim_{x\rightarrow \infty} f(x) = \infty$ se alcanza todo número real debido al teorema del valor medio.