Prueba con círculos circunscritos a un triángulo

Question

Así que mi pregunta es la siguiente: Puntos $A, B,$ y $C$ se encuentran en una línea, punto $P$ se encuentra fuera de esta línea. Demostrar que los centros de las circunferencias de los triángulos $ABP, BCP,$ y $ACP$ y señalar $P$ se encuentran en un círculo.

Soy autodidacta y bastante nuevo en las pruebas en general y en las geométricas en particular. No sé muy bien por dónde empezar con este problema, aunque creo que la línea de Simson podría ser aplicable. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Dejemos que $M_A, M_B, M_C$ sean los puntos medios de los segmentos $AP, BP, CP$ respectivamente. Se encuentran en una línea común $s_P$ que es paralela a la línea $AB \equiv AC$ porque $M_A, M_B, M_C$ determinar los segmentos intermedios en los triángulos $ABP, BCP, CAP$ .

Ahora, dibuja las bisectrices ortogonales $l_A, l_B, l_C$ de segmentos $AP, BP, CP$ respectivamente. Entonces $M_A \in l_A,\,\, M_B \in l_B, \,\, M_C \in l_C$ . Los puntos de intersección $$O_{AB} = l_A \cap l_B, \,\,\, O_{BC} = l_B \cap l_C, \,\,\, O_{CA} = l_C \cap l_A$$ son las circunferencias de los triángulos $ABP, BCP, CAP$ respectivamente.

Por último, céntrate en el triángulo $O_{AB}O_{BC}O_{CA}$ . Observe que $M_A, M_B, M_C$ son las proyecciones ortogonales del punto $P$ en las aristas extendidas del triángulo $O_{AB}O_{BC}O_{CA}$ . Sin embargo, como ya se ha señalado, los puntos del árbol $M_A, M_B, M_C$ se encuentran en una línea común $s_P$ que se llama la línea de Simson. Esto es posible si y sólo si $P$ se encuentra en la circunferencia del triángulo $O_{AB}O_{BC}O_{CA}$ por el teorema de la línea de Simson $s_P$ .