Encontrar una homotopía de $SX \to SX$

Question

Para demostrar (utilizando los axiomas de Steenrod-Eilenberg) que $$\tilde{E}_k(SX) \cong \tilde{E}_k(\Sigma X)$$ donde $S$ denota la suspensión no reducida y $\Sigma$ la reducida, durante las clases escribimos la siguiente cadena de isomorfismos $$\tilde{E}_k(SX) \cong E_k(SX, (*,0)) \cong E_k(SX, \{*\}\times I) \cong \tilde{E}_k(\Sigma X)$$

Donde asumimos que $*$ en $X$ tiene un barrio de retracción def.

Tengo problemas para demostrar el segundo isomorfismo, porque no sé cómo encontrar una homotopía de $SX$ en sí mismo que se limita a $\{*\}\times I$ es una homotopía al punto $(*,0)$ . Supongo que esta es la forma de proceder, porque incluso el profesor da como explicación la homotopía entre los dos espacios sin escribirla explícitamente o dar algunas pistas sobre cómo encontrarla.

¿Puede alguien darme alguna pista sobre cómo encontrar dicha homotopía? ¿O hay otra manera de resolverlo?

Answer 1

Se sigue por escisión. Tienes un cuadrado de empuje $$\require{AMScd} \begin{CD} (*,0) @>>> \{*\}\times I \\ @VVV @VVV \\ SX @>>> SX \end{CD}$$ Por lo tanto, la escisión dice que $\tilde{E}(SX,(*,0)\cong \tilde{E}(SX,\{*\}\times I)$ .

EDIT: Se puede formular la escisión como si se tratara de un cuadrado de empuje $$\require{AMScd} \begin{CD} A @>>> B \\ @VVV @VVV \\ X @>>> Y \end{CD}$$ da un isomorfismo en homología $E_n(X,A)\cong E_n(Y,B)$ . Para relacionar esto con el enunciado habitual de la escisión, tenemos un cuadrado de empuje $$\require{AMScd} \begin{CD} A\cap B @>>> B \\ @VVV @VVV \\ A @>>> X \end{CD}$$ Así que, $E_n(X,B)\cong E_n(A,A\cap B)$ .