Es una muy mala enseñanza decir que los estudiantes deben ver el $dx $ parte de una integral como algo parecido a un punto final. Después de haber conocido a algunos malos profesores de matemáticas (y a algunos excelentes, por suerte), puedo comprenderlo. ¿Puedo sugerirte que "aparques" la sugerencia de tu antiguo profesor y mires de nuevo -desde una nueva perspectiva- el cálculo?
Antes de cursar el cálculo, deberías haber aprendido sobre los límites de las funciones. De lo contrario, la diferenciación y la integración serían imposibles de entender en el contexto del álgebra y la geometría. Recomiendo encarecidamente _Enseña tú mismo el cálculo_ de P. Abbott. Las ediciones antiguas de los años 60 están disponibles en Amazon de segunda mano. (Por favor NO conseguir la "nueva" versión de un tipo llamado O'Neill - esto es sólo un secuestro de ingresos, por lo que puedo ver).
Después de conocer bien los límites de las funciones, pronto verá cómo $$ \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{\Delta y}{\Delta x}} = \frac{dy}{dx}$$
En físico términos, $dx$ puede verse como el tamaño del cambio más grande (pero, por supuesto, todavía bastante minúsculo en términos de la vida real) de una variable, $x$ que nos proporcionará un medio para hacer una preciso estimación del cambio resultante, $dy$ a una función $y = f(x)$ . Podemos hacer esta estimación utilizando el diferencial de la función, $y = f(x)$ con respecto a la variable $x$ .
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{d[f(x)]}{dx} = f'(x) $$
Por lo tanto,
$$ dy = (\frac{dy}{dx}) \ dx = f'(x) \ dx $$
Usando el álgebra, podemos calcular lo que $ f'(x) $ o $ \frac{dy}{dx}$ es para cualquier función vía:
$$ f'(x) = \frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0}{\frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}} $$
Después de hacer unas cuantas de estas, uno puede establecer un conjunto de "reglas" por las que los diferentes tipos de funciones (por ejemplo, polinomios, trigonométricas, producto de funciones, cociente de funciones, etc.) pueden tener su función diferencial escrita casi a la vista. Así, si nos dan una función $f(x)$ podemos escribir rápidamente su diferencial, $f'(x)$ .
Diferenciales como $\frac{dy}{dx}$ nos hablan de la tasa de cambio de una función en comparación con la de su variable dependiente. Pero a veces necesitamos hacer lo contrario, es decir, encontrar la función cuya diferencial, $f'(x)$ que conozcamos. Por ejemplo, podemos necesitar encontrar un cambio global de esa función a medida que su variable dependiente cambia en un rango continuo de valores entre $x_1$ y $x_2$ . Para ello utilizamos la relación anterior
$$ dy = d[f(x)] = f'(x) \ dx $$
Esta ecuación nos dice que cada parte del cambio global en $y = f(x)$ como $x$ va de $x_1$ a $x_2$ es el producto de la tasa de cambio de y con x evaluado en un punto de ese rango multiplicado por el diferencial en $x$ , $dx$ . Como no conocemos el valor absoluto de $dx$ no podemos hacerlo con precisión mediante cálculos de cada $dy$ . Pero podemos utilizar nuestras "reglas" para diferenciar una función en sentido inverso para encontrar la función original $f(x)$ cuyo $\frac{dy}{dx}$ equivale a la función $f'(x)$ . Aplicando $x_1$ y $x_2$ como argumentos en esta función nos proporcionará entonces el cambio global en $y$ como $x$ cambios de $x_1$ a $x_2$ es decir
$$ y = f(x) = \int{f'(x) \ dx}$$
donde el $\int$ significa el proceso inverso (llamado integración) a la diferenciación de una función.
Inserción de $x_1$ y $x_2$ en la función final y restando se obtiene el cambio global de la función $y$ como $x$ cambios de $x_1$ a $x_2$ es decir
$$ \Delta y = f(x_2) - f(x_1) $$
Así que si tu antiguo profesor dijo que $dx$ en una integral debe verse como un punto final, no estaba en lo cierto. El $dx$ debe estar ahí para que la integral tenga sentido ya que toda integral es un producto de una función diferencial y una diferencial en la variable dependiente.
Se me acaba de ocurrir una idea: tal vez su antiguo profesor quería decir que debería haber un punto final entre le site $f(x)$ y el $dx$ ? Eso tendría sentido, ya que en álgebra el punto es el operador de una multiplicación, que es lo que $f(x) \ dx$ es cuando dentro de una integral
$$ y = \int f'(x) \ . dx $$
Iba a sugerir que se le diera una buena paliza a ese viejo profesor, pero ahora tal vez el viejo diablo no estaba tan equivocado después de todo aunque esta "visión" por sí sola no nos lleva muy lejos en la comprensión de las integrales.
