¿Qué es? $dx$ en la integración?

Question

Cuando estaba en la escuela y aprendía la integración en la clase de matemáticas en el nivel A, mi profesor escribía cosas como esta en la pizarra.

$$\int f(x)\, dx$$

Cuando vino a explicar el significado del $dx$ nos dijo "pensad en ello como un punto final". Por la razón que sea, no levanté la mano y le pregunté sobre ello. Pero siempre he sacudido la cabeza ante una explicación tan pobre para poner un $dx$ al final de las ecuaciones de integración como éstas. Hasta el día de hoy no sé el propósito de la $dx$ . ¿Puede alguien explicarme esto sin recurrir a metáforas gramaticales?

Answer 1

Históricamente, el cálculo se planteaba en términos de números infinitesimales. La notación de Leibniz dy/dx pretendía significar, literalmente, la división de dos infinitesimales. La notación de Leibniz $\int f dx$ se pretendía indicar una suma de infinitos rectángulos, cada uno con una anchura infinitesimal dx. (El signo integral $\int$ es una "S" de "suma"). Tenga en cuenta que el factor $dx$ en la integral es necesario para que las unidades salgan bien. Por ejemplo, si se calcula el trabajo mecánico como $W=\int F dx$ las unidades no serían newton-metros si no se tuviera el factor de $dx$ que tiene unidades de metros.

En el siglo XIX, los matemáticos se inquietaron por los infinitesimales. Temían que un sistema matemático basado en infinitesimales no pudiera desarrollarse de forma totalmente rigurosa y consistente. Por ello, reconstruyeron los fundamentos del cálculo utilizando límites, pero mantuvieron la notación de Leibniz, que es extremadamente útil y práctica. En este enfoque, $W=\int F dx$ representa un límite de sumas de Riemann de rectángulos de anchura finita $\Delta x$ y el $dx$ se convierte en un arcaísmo.

Alrededor de 1960, Abraham Robinson demostró que era posible tener un cálculo construido sobre una base de infinitesimales, y que no se produciría ninguna incoherencia (a menos que hubiera una incoherencia que afectara también al propio sistema de números reales, lo que nadie cree que sea el caso). Por lo tanto, es legítimo pensar en las integrales y las derivadas esencialmente del mismo modo en que Newton y Leibniz las concibieron originalmente; de hecho, los científicos e ingenieros nunca dejaron de pensar en ellas de ese modo.

Answer 2

Por supuesto, para algo tan simple como $\int{f(x)}dx$ No. tienen para escribir $dx$ si no te apetece, y en muchas situaciones se te permite simplemente escribir $\int{f}$ Aunque personalmente no tengo la costumbre de hacerlo.

Estas cosas por las que preguntas no son simplemente un conveniente dispositivo de contabilidad para hacernos saber dónde está el final del intergral, se llaman formas diferenciales y puedes sumarlos y multiplicarlos.

El álgebra de las formas diferenciales se desprende naturalmente de la simple regla de que $dx^2=0$ porque esta regla implica en realidad otra regla muy importante, a saber, que $dx\wedge dy=-dy\wedge dx$ o, en otras palabras, que las formas diferenciales conmutan antisimétricamente, véase aquí para más información.

Answer 3

Una vez fui a un longitud ilustrando el punto de que para evaluar integrales es útil mirar $d$ como un operador lineal.

Answer 4

Me hice exactamente la misma pregunta y te doy la respuesta a la que llegué o cómo veo esto.

Bien, veamos. El significado de $dx$ en $\textit{definite}$ integrales es bastante clara (como se ha señalado en otras respuestas), es el límite cuando el elemento de longitud va a $0$ Así que al escribir $\int_0^1{}x^2dx$ le site $dx$ tiene un significado claro.

Sabemos que $\textit{indefinite}$ Las integrales, o las antiderivadas, se pueden utilizar mediante el teorema fundamental del cálculo para calcular integrales definidas, por lo que se podría pensar en este punto que escribimos $dx$ al hacer antiderivadas debido a la "cercanía" de las integrales definidas e indefinidas y a que la $dx$ en $\int{}x^2dx$ realmente no tiene otro significado que el de punto final.

Pero esa no es toda la historia. La verdad es que el $dx$ es una forma "práctica" de cambiar las variables (lo que es realmente útil haciendo integrales).

Imagina que quieres obtener la antiderivada de $w(x)$ . Como quieres obtener la antiderivada, esta función es (esperas) una derivada de alguna función (en realidad infinita pero eso no es importante ahora), así que quieres integrar

$w(x)=f'(x)$

$f(x)$ Es lo que quieres conseguir.

Imagina también que eres lo suficientemente incompetente como para no saber cómo hacerlo. Así que, para solucionarlo, decides que quieres probar a cambiar de variable, con la esperanza de que así se solucione el lío y seas más competente integrando la nueva variable.

Se procede en esta línea definiendo la nueva variable

$x\equiv{}g(m)$ y $f(x)\equiv{}h(m)$

Esto es importante, si fuéramos capaces de conseguir $h(m)$ invirtiendo el cambio de variable obtendríamos $f(x)$ y el problema estaría resuelto.

Así que pruebas la nueva variable con la esperanza de conseguir $h'(m)$ de $f'(x)$ con la esperanza de poder llevar a cabo la integración en $h'(m)$

$f'(x)=f'(x=g(m))=h'(m)m'(x)$

y recordando $m'(x)=\frac{dm}{dx}$ y reordenando los términos

$f'(x)dx=h'(m)dm$

Y ahora está claro por qué el $dx$ es útil. Multiplicándolo por $f(x)$ hace que las variables se "ordenen" tras el cambio de variable y se obtiene fácilmente $h'(m)$ de $f'(x)$ que es lo que querías.

Así que ya ves, al hacer el cambio de variable el $dx$ es algo que te ayuda a encontrar el integrando respecto a la nueva variable, y por lo tanto, se escribe desde el principio porque se espera que tengas que realizar cambios de variable y entonces lo necesitarás.

Así que resumiendo. En realidad significa punto final o absolutamente nada, pero (probablemente) lo necesitarás, así que escríbelo y finge no verlo hasta que lo necesites.

Answer 5

Una integral te da el área entre el eje horizontal y la curva. La mayoría de las veces se trata del eje x.

                         y

                         |                    |
                       --|--              ----|---- f(x)
                     /   |   \          /     |
                    /    |     --------       |
          |        /     |                    |
     -----|-------       |                    |
          |              |                    |
          |              |                    |
----------|--------------+--------------------|----- x
        a                                   b

Y el área cerrada es:

Área = $\int^b_a f(x) dx$

Pero digamos que no quieres usar una integral para medir la área entre el eje x y la curva. En su lugar, simplemente caclular el valor medio de la gráfica entre a y b y dibujar una línea plana estricta y = avg(x) (el valor medio valor medio de x en ese rango).

Ahora tienes un gráfico como este:

                         y

                         |                    |
                       - | -              - - | - - f(x)
          |          /   |   \          /     |
     -----|-----------------------------------|---- avg(x)
          |        /     |                    |
     - - -|- - - -       |                    |
          |              |                    |
          |              |                    |
----------|--------------+--------------------|----- x
        a                                   b

Y el área encerrada es un rectángulo:

Área = avg(x) w donde w es la anchura io de la sección

La altura es avg(x) y la anchura es w = b-a o en inglés, "la anchura de un trozo del eje x que va de a a b".

Pero digamos que necesitas un área más precisa. Podrías dividir el gráfico en secciones más pequeñas y hacer rectángulos con ellas. Digamos que haces 4 secciones iguales:

                           y

                           |                    |
                      |----|---|        |-------|---- f(x)
                      |    |   |        |       |
                      |    |   |--------|       |
            |         |    |   |        |       |
       -----|---------|    |   |        |       |
            |         |    |   |        |       |
            |         |    |   |        |       |
  ----------|---------|----+---|--------|-------|----- x
            a                                   b

Y la zona lo es:

Área = sección 1 + sección 2 + sección 3 + sección 4

\= avg(x,1) w + avg(x,2) w + avg(x,3) w + avg(x,4) w

donde w es la anchura de cada sección. Las secciones son todas del mismo tamaño, por lo que en este caso w=(b-a)/4 o en inglés "la anchura de una sección delgada del eje x o 1/4 de la ancho de a a b".

Y si escribimos esto con una sumatoria obtenemos

Área = $\sum^4_{n=1}avg(x,n) w$

Pero sigue sin ser lo suficientemente preciso. Utilicemos un número infinito de secciones. Ahora nuestra área se convierte en una suma de un número infinito de secciones. Como es una suma infinita, usaremos el signo signo de integral en lugar del signo de suma:

Área = $\int avg(x) w$

donde avg(x) para una sección infinitamente delgada será igual a f(x) en esa sección, y w será "la anchura de una sección infinitamente delgada del eje x".

Así que en lugar de avg(x) podemos escribir f(x), porque son lo mismo si la media se toma sobre una anchura infinitamente pequeña.

Y podemos cambiar el nombre de la variable w por el que queramos. El ancho de una sección es la diferencia entre el lado derecho y el lado izquierdo. La diferencia entre dos puntos se suele llamar el delta de esos valores. Así, la diferencia de dos valores de x (como a y b) se llamaría se llama delta-x. Pero eso es demasiado largo para usarlo en una ecuación, así que cuando tenemos un delta infinitamente pequeño, se acorta a dx.

Si sustituimos avg(x) y w por estas cosas equivalentes:

Área = $\int f(x) dx$

Así que lo que dice la ecuación es:

El área es igual a la suma de un número infinito de rectángulos que tienen f(x) de alto y dx de ancho (donde dx es una distancia infinitamente infinitamente pequeña).

Así que necesitas el dx porque si no, no estás sumando rectángulos y tu respuesta no sería el área total.

dx significa literalmente "una anchura infinitamente pequeña de x".

Incluso significa esto en derivados. Una derivada de una función es la pendiente de la gráfica en ese punto. La pendiente se suele medir como la diferencia en y de dos puntos dividida por la diferencia x de esos puntos:

Pendiente = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Pero cuanto más se acerquen estos puntos, más pequeñas serán estas diferencias. Vamos a empezar a llamarlos deltas porque la diferencia entre dos puntos suele ser llamado el delta de esos valores.

Pendiente = delta-y / delta-x

Los deltas son cada vez más pequeños a medida que estas dos x,y se acercan más y más. Cuando están a una distancia infinitamente pequeña, entonces el delta-y y delta-x se acortan a dy y dx:

Pendiente = dy / dx

La pendiente sigue siendo Pendiente = (y2 - y1) / (x2 - x1) pero estos puntos están infinitamente juntos, así que usamos dy y dx para decirnos que están infinitamente cercanos o "distancias diferenciales".