¿Qué es? $dx$ en la integración?

Question

Cuando estaba en la escuela y aprendía la integración en la clase de matemáticas en el nivel A, mi profesor escribía cosas como esta en la pizarra.

$$\int f(x)\, dx$$

Cuando vino a explicar el significado del $dx$ nos dijo "pensad en ello como un punto final". Por la razón que sea, no levanté la mano y le pregunté sobre ello. Pero siempre he sacudido la cabeza ante una explicación tan pobre para poner un $dx$ al final de las ecuaciones de integración como éstas. Hasta el día de hoy no sé el propósito de la $dx$ . ¿Puede alguien explicarme esto sin recurrir a metáforas gramaticales?

Answer 1

La motivación de la integración es encontrar el área bajo una curva. Esto se hace, esquemáticamente, dividiendo el intervalo $[a, b]$ en pequeñas regiones de anchura $\Delta x$ y sumando las áreas de los rectángulos resultantes. Esta es una ilustración de Wikipedia :

Entonces queremos hacer una identificación en la línea de

$$\sum_x f(x)\Delta x\approx\int_a^b f(x)\,dx,$$

donde tomamos esas anchuras de los rectángulos para que sean increíblemente pequeñas y nos referimos a ellas como $dx$ .

Answer 2

Hay múltiples formas de explicar lo que el $dx$ significa.

• Explicación práctica: Dice que estamos integrando sobre la variable $x$ . Si integráramos sobre la variable $t$ escribiríamos $dt$ en su lugar, y así sucesivamente.

• Explicación infinitesimal: Podemos pensar en una integral como el límite de una suma: El área bajo la gráfica de una función (positiva) $f$ se puede aproximar por la suma $\sum_x f(x) \Delta x$ y en el límite, hacemos $\Delta x$ arbitrariamente pequeño y llamarlo $dx$ (una cantidad "infinitesimal"). La respuesta de Jonathan lo explica en detalle.

• Explicación avanzada: En el análisis vectorial, $dx$ tiene el significado de una forma diferencial (aproximadamente, algo que se comporta como un trozo infinitesimal de una curva).

Answer 3

Leibniz, que introdujo esta notación en el siglo XVII, pensó en $dx$ como un incremento infinitamente pequeño de $x$ y, al menos como heurística, es una idea inmensamente útil.

Sin embargo, hay que tener en cuenta otros puntos:

• $\displaystyle\int f(x,y)\,dx$ difiere de $\displaystyle\int f(x,y)\,dy$ . En un caso, se integra una función de $x$ y $y$ es constante; en el otro estos papeles se invierten y uno puede estar integrando una función muy diferente.
• Si $f(x)$ está en metros por segundo y $dx$ está en segundos, entonces $f(x)\,dx$ está en metros, y también la integral. Estas cosas deberían ser dimensionalmente correctas, y no lo son sin el " $dx$ ".
• A veces se tiene un producto punto o un producto cruz o un producto matriz o algún otro tipo de producto entre $f(x)$ y $dx$ . ¿Cómo se puede especificar eso sin el " $dx$ ¿"Escrito allí"?
• Al hacer las sustituciones, es importante distinguir entre $dx$ y $du$ etc.

Answer 4

¿Puede alguien explicarme esto sin recurrir a metáforas gramaticales?

Es es una cuestión de gramática. La expresión integral indefinida es una gran expresión que organiza varias informaciones:

$$ \color{blue}\int \color{red}{\underline{\quad}} \color{green}d \color{purple}{\underline{\quad}} $$

El azul $\int$ es un símbolo que expresa que se trata de una expresión integral. El resto de la expresión es el integrando.

El integrando consta de tres componentes: está el verde $d$ símbolo. A la derecha está la ranura púrpura en la que se coloca el nombre de la variable que se está integrando con respecto a ella, y a la izquierda está la ranura roja en la que se coloca la expresión de la función que se pretende integrar (con respecto a la variable ficticia).

Hay otras interpretaciones gramaticales de las expresiones integrales -la más importante (OMI) es la noción de "forma diferencial"-, pero ésta es la que se utiliza en la clase de introducción al cálculo.

Esta forma gramatical particular tiene cierto simbolismo. Es una forma útil heurística pensar en un " $dx$ " como una variación en miniatura de una función. Se puede ampliar esta heurística imaginando que la integral es la "suma" de todas estas variaciones en miniatura. El símbolo $\int$ Creo que se originó como un $S$ para "suma"; no es diferente a la elección de sigma ( $\Sigma$ ) para las expresiones de suma.

La noción de forma diferencial es muy útil y quizá le interese saber más. Desgraciadamente, no conozco ninguna exposición que la introduzca aplicada al cálculo introductorio: suele ser sólo realmente introducido en un curso de geometría diferencial.

Answer 5

El $dx$ se le pueden dar varios significados concretos, ninguno de los cuales se puede explicar de forma sensata a alguien que aprende por primera vez sobre las integrales. En realidad, no es más que una notación que proviene de los creadores del cálculo, motivada por las ideas que sustentan la respuesta de Jonathan.

En la actualidad, el $dx$ sirve para delimitar el integrando (aunque a los físicos, rebeldes como siempre, les gusta escribir $\int\mathrm d xf(x)$ por lo que escribimos $\int f(x)\mathrm dx$ ...) y de explicitar la variable respecto a la cual estamos calculando la integral (esto es útil en situaciones como $\int f(x,y)\mathrm dx$ que suele ser diferente de $\int f(x,y)\mathrm d y$ )

En cuanto a los significados matemáticos concretos: el $\mathrm dx$ puede significar concretamente todo tipo de cosas: la medida de Lebesgue, una forma diferencial, una densidad, y algunas otras. Sería imposible explicar el significado de cualquiera de ellos a un estudiante que se enfrenta por primera vez a las integrales.