Fraleigh Sección 9 Pregunta 27

Question

Pregunta 27 sobre la sección 9 de Fraleigh 7ª edición:

Parte (a) Nos pide que demostremos que una permutación en $S_n$ puede escribirse como un producto de como máximo $n - 1$ transposiciones.

Creo que esto no es cierto. Hay un sinfín de contraejemplos al respecto. Simplemente escriba $i = (1, 2)(1, 2)(1, 2)(1, 2)$ da la permutación de identidad en $S_3$ .

O bien, escriba $(3, 4)(1, 2)(2, 3)(3, 1)$ da una permutación en $S_4$ .

Gracias por la ayuda, y seguiré preguntando sobre Fraleigh porque estoy haciendo un autoestudio completo, así que este es mi único recurso para preguntar.

Answer 1

La prueba es fácil cuando se piensa en organizar $n$ objetos. Utiliza la primera transposición para colocar el primer objeto, la segunda para colocar el segundo. Cuando obtengas la $(n-1)^{th}$ objeto en su sitio descubres que todo está en orden ya que es imposible que haya un solo objeto fuera de su sitio.

Eso no es demasiado difícil de traducir al lenguaje de las transposiciones.

Answer 2

" Puede estar escrito de una forma determinada" significa que existe una manera de escribir algo en esa forma. La afirmación que el ejercicio quiere demostrar es que si $s$ es cualquier elemento de $S_n$ entonces existe alguna secuencia de $n-1$ o menos transposiciones cuyo producto es $s$ . Obviamente, puedes multiplicar tantas transposiciones como quieras, pero la cuestión es que nunca obtienes nada nuevo multiplicando más de $n-1$ de ellos.

Aquí hay un ejemplo diferente de lo mismo, posiblemente útil:

Todo número entero positivo puede escribirse en la forma $(2k+1)\cdot 2^m$ para algunos enteros $k$ y $m$ .

¿Significa esto que el número entero 1.428 es ¿escrito en esta forma? No, claro que no, porque no lo es. Sólo significa que existe números $k$ y $m$ para lo cual $(2k+1)\cdot 2^m = 1428$ -en este caso $k=178$ y $m=2$ .