¿Cómo se definen los espacios tangentes mediante clases de equivalencia de curvas?

Question

Tengo una duda sobre la definición del espacio tangente a una variedad $M$ utilizando clases de equivalencia de curvas suaves. Entendí la definición usando derivaciones, que al final usa curvas mostrando que cada curva define una derivación que es su vector tangente.

Pero he oído que hay una definición que dice que un vector es una clase de equivalencia de curvas. Realmente no entiendo qué se supone que significa eso. ¿Estoy asociando un vector con una curva? ¿Pero el vector no debería estar asociado a la derivada de la curva? Sé lo que es una clase de equivalencia, pero realmente no entiendo cómo encaja esto en esta definición.

Sé que estas preguntas pueden parecer una tontería, pero creo que es importante saber cómo construir el espacio tangente tanto como clase de equivalencia de cuvers lisos como de derivaciones.

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Dejemos que $M$ sea un Múltiple liso. Sea $p \in M$ . Sea $U$ sea una vecindad abierta de $p$ . Denotamos por $C^{\infty}(U)$ el conjunto de funciones suaves de valor real sobre $U$ . Sea $\Lambda_p = \bigcup C^{\infty}(U)$ , donde $U$ recorre todos los barrios abiertos de $p$ . Sea $f, g \in \Lambda_p$ . Supongamos que $f \in C^{\infty}(U)$ y $g \in C^{\infty}(V)$ . Si existe un barrio abierto $W$ de $p$ tal que $W \subset U \cap V$ y $f|W = g|W$ , decimos $f$ y $g$ son equivalentes. Se trata de una relación de equivalencia sobre $\Lambda_p$ . Denotamos por $\mathcal{O}_p$ el conjunto de clases de equivalencia en $\Lambda_p$ . Claramente $\mathcal{O}_p$ es un $\mathbb{R}$ -de la álgebra. Sea $f \in C^{\infty}(U)$ , donde $U$ es un vecino abierto de $p$ . Denotamos por $[f]$ la clase de equivalencia que contiene $f$ .

Una derivación de $\mathcal{O}_p$ es un mapa lineal $D\colon \mathcal{O}_p \rightarrow \mathbb{R}$ tal que

$D(fg) = D(f)g(p) + f(p)D(g)$ para $f, g \in \mathcal{O}_p$ .

El conjunto $T_p(M)$ de derivaciones de $\mathcal{O}_p$ es un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ y se denomina espacio tangente a $p$ .

Dejemos que $\epsilon > 0$ sea un número real positivo. Denotamos por $\Gamma_p(\epsilon)$ el conjunto de curvas suaves $\gamma \colon (-\epsilon,\epsilon) \rightarrow M$ tal que $\gamma(0) = p$ . Sea $\Gamma_p = \bigcup_{\epsilon>0} \Gamma_p(\epsilon)$ . Sea $(U, \phi)$ sea un gráfico tal que $p \in U$ . Sea $\gamma_1, \gamma_2 \in \Gamma_p$ . Entonces $\gamma_1$ y $\gamma_2$ se denominan equivalentes en $0$ si $(\phi\circ\gamma_1)'(0) = (\phi\circ\gamma_2)'(0)$ . Esta definición no depende de la elección del gráfico $(U, \phi)$ . Esto define una relación de equivalencia en $\Gamma_p(M)$ . Sea $S_p(M)$ sea el conjunto de clases de equivalencia en $\Gamma_p(M)$ . Para $\gamma \in \Gamma_p(M)$ denotamos por $[\gamma]$ la clase de equivalencia que contiene $\gamma$ .

Definiremos un mapa $\Phi\colon S_p(M) \rightarrow T_p(M)$ . Sea $c \in S_p(M)$ . Elija $\gamma \in \Gamma_p(M)$ tal que $c = [\gamma]$ . Sea $f \in C^{\infty}(U)$ , donde $U$ es una vecindad abierta de $p$ . Escribimos $D_c([f]) = (f\circ\gamma)'(0)$ para $f \in C^{\infty}(U)$ . Claramente $D_c$ está bien definido y no depende de la elección de $\gamma$ . Claramente $D_c \in T_p(M)$ . Por lo tanto, obtenemos un mapa $\Phi\colon S_p(M) \rightarrow T_p(M)$ tal que $\Phi(c) = D_c$ .

Afirmamos que $\Phi$ es biyectiva. Sea $c, e \in S_p(M)$ . Supongamos que $D_c = D_e$ . Supongamos que $c = [\gamma]$ y $e = [\lambda]$ . Sea $(U, \phi)$ sea un gráfico tal que $p \in U$ . Sea $\pi_i:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ sea el $i$ -Mapa de proyección: $\pi_i(x_1,\dots,x_n) = x_i$ . Denotamos por $\phi^i$ por $\pi_i\circ\phi$ . Desde $D_c([\phi^i]) = D_e([\phi^i])$ , $(\phi^i\circ\gamma)'(0) = (\phi^i\circ\lambda)'(0)$ . Por lo tanto, $(\phi\circ\gamma)'(0) = (\phi\circ\lambda)'(0)$ . Por lo tanto, $\gamma$ y $\lambda$ es equivalente. Así, $\Phi$ es inyectiva.

Dejemos que $D \in T_p(M)$ . Sea $(U, \phi)$ sea un gráfico tal que $p \in U$ . Suponemos que $\phi(p) = 0$ . Definimos $\phi^i$ para $i = 1,\dots,n$ como en el caso anterior. Sea $D([\phi^i]) = a_i$ para $i = 1,\dots,n$ . Existe $\epsilon > 0$ tal que $(a_1t,\dots,a_nt) \in \phi(U)$ por cada $t \in (-\epsilon, \epsilon)$ . Sea $\gamma(t) = \phi^{-1}(a_1t,\dots,a_nt)$ para $t \in (-\epsilon, \epsilon)$ . Entonces es fácil ver que $\Phi([\gamma]) = D$ . Por lo tanto, $\Phi$ es sobreyectiva y hemos terminado.

Answer 2

Debido a que la clase de equivalencia de los cuvers suaves está determinada por las derivaciones, la clase de equivalencia y las derivaciones son una correspondencia uno a uno. teniendo derivaciones, podemos dar lugar a la clase de equivalencia, a la inversa, teniendo la clase de equivalencia, sabemos que cada elemento en la clase tiene las mismas derivaciones en p, es decir, el mismo vector tangente, por lo que las derivaciones y la clase de equivalencia se ven como el mismo objeto que puede caracterizar el vector tangente.