Es $f(x)=\frac{1}{x}$ ¿Invertible?

Question

Dejemos que $f(x)=\frac{1}{x}$ entonces $f^{-1}(x)$ debe ser igual a $$y=\frac{1}{x}$$ y después de intercambiar las variables $$x=\frac{1}{y}$$ y reordenando para resolver $y$ , $$\frac{1}{x}=y$$ Dicho esto, ¿se puede concluir que $f^{-1}(x)=\frac{1}{x}$ ? Sé que funciona ya que, cuando se toma $f(f^{-1}(x))$ el resultado es $x$ Es que me resulta inaudito que una función cuya inversa sea ella misma... Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Esto puede dejar de parecer extraño si se tiene en cuenta que, desde un punto de vista geométrico, invertir una función no es más que voltear su gráfica en la $45^°$ -(es decir, la gráfica de la función $f(x)=x$ ).

Ahora mira el gráfico de $1/x$ que es perfectamente simétrica a esta línea. No es de extrañar que su inversa sea la misma. Verás inmediatamente que las gráficas de

$$f(x)=x,\qquad f(x)=-x+k,\qquad f(x)=\sqrt{1-x^2}$$

son todas simétricas de la misma manera (en un dominio apropiado), por lo que todas son sus propias inversas.

Answer 2

Sí, la función es invertible, y es su propia inversa. Tampoco es la única función de este tipo, $f(x)=-x$ es otro ejemplo.

Answer 3

En realidad, hay más ejemplos de funciones que son su propia inversa: $$f(x)=-x$$ $$f(x)=-\frac1x$$ $$f(x)=x$$ $$f(x)=\begin{cases}x+0.5\text{ if }x-\lfloor x\rfloor<0.5\\x-0.5\text{ otherwise}\end{cases}$$ $$\ldots$$