¿estructuras t y categorías superiores?

Question

Tengo curiosidad por saber dónde puede ser útil el punto de vista de las categorías superiores, así que aquí va una pregunta algo vaga (que puede tener o no una respuesta razonable).

Dada una categoría triangulada, se puede considerar el conjunto de todas las estructuras t posibles en ella. Los ejemplos sencillos en los que se puede calcular a mano indican que se trata de algo complicado, pero no desesperante. Véase, por ejemplo, el artículo http://arxiv.org/abs/0909.0552 de Jon Woolf, que describe una familia de tres estructuras t paramétricas en la categoría derivada acotada construible de $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ estratificado por un punto y su complemento. Algunas de estas estructuras t son más interesantes que otras y hay una que es la más interesante de todas ya que tomando la categoría derivada acotada de su corazón se recupera la categoría triangulada con la que se empezó. (Para esa estructura t el corazón es la categoría de láminas perversas sobre $\mathbf{P}^1(\mathbf{C})$ .)

Por otra parte, el conjunto de estructuras t en una categoría triangulada es interesante ya que en algún lugar se esconde la conjetura de la estructura t motivacional cuya existencia implica las conjeturas estándar de Grothendieck. Véase el reciente artículo http://arxiv.org/abs/1006.1116 por Beilinson.

En la página de categorías trianguladas del sitio web del laboratorio de n-categorías dice "Por lo tanto, toda la estructura y propiedades de una categoría triangulada se entiende mejor como una sombra 1-categórica de las propiedades correspondientes de las categorías estables (infinito,1)". Véase http://ncatlab.org/nlab/show/triangulated+categoría . Nótese que es una afirmación bastante fuerte, ya que se refiere a todas, y no sólo a algunas, propiedades y estructura de una categoría triangulada.

Así que me gustaría preguntar: ¿existe un análogo categórico superior de una estructura t? En términos más generales, ¿cómo ayuda el punto de vista categórico superior a entender el conjunto de todas (o quizás todas las "bonitas" en un sentido apropiado) las estructuras t en una categoría trangulada dada, siempre que sea la categoría de homotopía de una categoría estable $(\infty,1)$ ¿categoría?

upd: como señala Mike en los comentarios, la respuesta a la primera pregunta es afirmativa y viene dada por la proposición 6.15 de las Categorías Estables del Infinito de Lurie. La segunda pregunta, más "filosófica", sigue en pie.

Answer 1

Quería aportar algo porque nadie ha explicado realmente por qué una estructura en T en un lugar estable $\infty$ -es lo mismo que una estructura t en su categoría de homotopía. No es sólo porque alguien lo definió así en la definición 1.2.1.4 del Álgebra Superior; es porque la generalización más natural es no generalizar.

A grandes rasgos, una estructura t en una categoría triangulada debe tener las tres propiedades siguientes:

• h1. Determina una subcategoría completa $\mathcal D_{\geq 0}$ cerrado bajo el functor de desplazamiento $\Sigma$ .

• h2. $hom(X,Y) = 0$ si $X \in \mathcal D_{\geq 0}$ y $Y \in \mathcal D_{\leq -1}$ .

• h3. Cualquier objeto encaja en un triángulo exacto, intercalado entre un objeto en $\mathcal D_{\geq 0}$ y $\mathcal D_{\leq -1}$ .

Si se piensa en las manipulaciones algebraicas para las que se utilizan las estructuras t, la generalización natural de una estructura t a una estable $\infty$ -categoría debería ser la siguiente:

• 1 $.$ Determina una subcategoría completa $\mathcal C_{\geq 0}$ cerrado bajo el functor de desplazamiento $\Sigma$ .

• 2 $.$ $hom(X,Y)$ es contratable si $X \in \mathcal C_{\geq 0}$ y $Y \in \mathcal C_{\leq -1}$ .

• 3 $.$ Cualquier objeto cabe en un secuencia de fibras entre un objeto en $\mathcal C_{\geq 0}$ y $\mathcal C_{\leq -1}$ .

Si $\mathcal C$ es estable, se define una estructura triangulada en su categoría de homotopía $\mathcal D = ho \mathcal C$ exigiendo que sus triángulos exactos sean precisamente los que surgen de las secuencias de fibras. Entonces vemos inmediatamente que (1)-(3) implican (h1)-(h3). Es decir, tenemos un mapa de estructuras t "oo-categóricas" sobre $\mathcal C$ a las estructuras t en $ho \mathcal C$ .

Lo que puede sorprender es que se mantenga la otra dirección, pero en realidad es un ejercicio fácil demostrar que cualquier colección de datos que satisfaga (h1)-(h3) determina de forma única los datos que satisfacen las propiedades (1)-(3). En pocas palabras: (h1) implica (1) obviamente. (h1) y (h2) juntas implican (2) porque se puede escribir una secuencia de fibras para $X[i]$ y $X[i+1]$ y luego aplicar el functor hom para obtener una secuencia de fibras de espacios de mapeo. La larga secuencia exacta de grupos de homotopía demostrará que todo grupo de homotopía de hom(X,Y) desaparece. Finalmente, por definición de triángulos exactos para $ho\mathcal C$ (h3) también implica (3).

Así que tenemos un fenómeno interesante en el que el conjunto de estructuras t no puede distinguir entre dos oo-categorías con categorías homotópicas equivalentes. Esta es una de las principales razones por las que las condiciones de estabilidad de Bridgeland no tienen una generalización obvia para ver estructuras homotópicas superiores más allá de la categoría de homotopía.

Answer 2

Así que me gustaría preguntar: ¿existe un análogo categórico superior análogo categórico de una estructura t?

Como señaló Mike Skirvin en un comentario, Lurie introdujo un análogo categórico superior de las estructuras t. Una referencia más actualizada podría ser Álgebra superior ( $\S$ 1.2.1).

En términos más generales, ¿cómo ayuda el punto de vista categórico superior a entender el conjunto de todas (o quizá todas las "bonitas" en un sentido apropiado) las estructuras t en una categoría trangulada dada, siempre que sea la categoría de homotopía de una categoría estable (∞,1)?

Supongo que la respuesta puede encontrarse en el mismo lugar. Allí, Lurie dice que "existe una correspondencia biyectiva entre $t$ -localizaciones de $\mathcal C$ (a estable $\infty$ -) y $t$ -en la categoría triangulada $h\mathcal C$ .

El punto de vista categórico superior también parece ser útil para entender el yoga de los funtores derivados de una manera más conceptual. En la sección 1.3 de la misma referencia (Álgebra Superior) se explica que si $\mathcal A$ es una categoría abeliana con suficientes injectivos, entonces su derivada $\infty$ -categoría $\mathcal D^-(\mathcal A)$ es estable, admite un $t$ -tiene la categoría de homotopía de la categoría derivada estándar, y satisface la siguiente propiedad universal: existe una equivalencia canónica de categorías abelianas $\mathcal A\to \mathcal D^-(\mathcal A)^\heartsuit$ y si $\mathcal C$ es un estable $\infty$ -con una categoría completa a la izquierda $t$ -entonces cualquier functor exacto derecho $\mathcal A\to\mathcal C^\heartsuit$ se extiende (de forma esencialmente única) a un functor exacto $\mathcal D^-(\mathcal A)\to \mathcal C$ .

Answer 3

Siento la necesidad de responderte aunque no sea un experto (!), ya que ahora puedo decir que sí se puede hacer algo mucho mejor que remitir una estructura t a su categoría de homotopía.

En este trabajo D. Fiorenza y yo demostramos que las estructuras t en una $\infty$ -categoría $\cal C$ están determinados de forma única por un reflectante sistema de factorización normal en $\cal C$ .

En pocas palabras, un sistema de factorización $(\cal E,M)$ es reflexivo cuando ambas clases satisfacen la propiedad 3 por 2 (la misma de las equivalencias débiles en una categoría modelo), y normal cuando la clase $\cal E$ / $\cal M$ satisfacen una propiedad de estabilidad pullback/pushout bastante peculiar, que se puede empaquetar en una única petición autodual: denotando $R,S$ respectivamente, los funtores de reflexión y núcleo de reflexión asociados a la factorización reflexiva $(\cal E,M)$ (véase la página de nLab para una explicación: la correspondencia cuyo $\infty$ -El análogo categórico que explotamos fue presentado por primera vez en el documento de Cassidy-Hebert-Kelly " Subcategorías reflexivas, localizaciones y sistemas de factorización "), esta factorización es normal en una categoría estable $\cal C$ si el cuadrado $$ \begin{array}{ccc} SA & \to &A \\ \downarrow && \downarrow \\ 0 &\to & RA \end{array} $$ es un pullback/pushout. Lea entre líneas y observe que $R,S$ no son más que los funtores de truncamiento $\tau_{\ge 0}, \tau_{<0}$ de la estructura t, y la petición de universalidad de un sistema de factorización normal y reflexivo te está diciendo que "todo objeto se encuentra en un triángulo distinguido bla bla". Y ahora, fortificado por $\infty$ -Teoría de las categorías, releer la definición de estructura t con un nuevo ojo :)

El teorema 3.13 del documento es la esencia de la discusión: nótese que la biyección de la correspondencia establecida allí se mantiene por razones categóricas simples y bien motivadas. Las pruebas son increíblemente fáciles de seguir, ¡tan fáciles que toda una sección contiene ejercicios para el lector!

Y, por último, no es necesario referirse a la categoría de homotopía ni siquiera en la definición del corazón de la estructura t, que puede caracterizarse sólo en términos del sistema de factorización: la abelianidad del corazón es ahora automática (véanse los Ejercicios 4.1, 4.2) como consecuencia de la "adyacencia" (Observación 4.2) de las clases de torsión y sin torsión de la estructura t.

Una discusión más precisa de los puntos que dejamos como ejercicios aparecerá en un artículo posterior (denotado como [FLa] en la bibliografía), junto con ejemplos de topología algebraica (la "localización" de Bousfield es una estructura t en los espectros), geometría algebraica (supongo que tengo que agradecer al OP por dar las referencias anteriores) y otros ámbitos: ¡espero que seas uno de nuestros lectores!

PD: Véase también el debate que abrimos en el nLab.