Sobre los no cuadrados en $\mathbb F_p^*$

Question

Tengo un problema relacionado con el campo primario $\mathbb F_p^*$ para resolver. Se comprueba empíricamente que todo elemento no cuadrado, está en $\dfrac{p-1}{2}$ diferentes formas un producto de un cuadrado por un no cuadrado.

Ejemplo En $\mathbb F_{11}^*$ las casillas son $\{1,3,4,5,9\}$ y $2$ ( así como los demás elementos no cuadrados, $6,7,8,10$ ) es igual a cinco productos como se ha indicado anteriormente $$2=1\cdot2=3\cdot8=4\cdot6=5\cdot7=9\cdot10$$

Demuestra o refuta esta propiedad sobre los no cuadrados en $\mathbb F_p^*$ .

Answer 1

Dejemos que $a$ sea un no cuadrado en $\mathbb{F}_q^*$ (donde $q$ es alguna potencia primera, no es necesario limitarse a $\mathbb{F}_p$ ).

Entonces, para cualquier otro no cuadrado $b \in \mathbb{F}_q^*$ su inversa $b^{-1}$ también es un no-cuadrado por lo que $ab^{-1}$ es un cuadrado y es el único elemento de $\mathbb{F}_q$ tal que $b \cdot (ab^{-1}) = a$ .

Por lo tanto, hemos demostrado que para cualquier no-cuadrado $b$ hay exactamente un cuadrado que se multiplica con $b$ da $a$ . Ahora exactamente la mitad de los elementos de $\mathbb{F}_q^*$ son cuadrados por lo que hay exactamente $\frac{q-1}{2}$ tales descomposiciones.

Nota al margen: La misma prueba demuestra que cualquier cuadrado puede escribirse en $\frac{q-1}{2}$ formas como un producto de dos cuadrados o en $\frac{q-1}{2}$ como producto de dos no cuadrados.

Answer 2

El mapa $x \mapsto x^2$ es un homomorfismo $\mathbb F_p^\times \to \mathbb F_p^\times$ . Su núcleo es $\{1,-1\}$ y tiene orden $2$ . Su imagen es un subgrupo $Q$ del índice $2$ . Por lo tanto, $\mathbb F_p^\times = Q \cup aQ$ , donde $a$ es un no cuadrado. El conjunto de no cuadrados es exactamente $aQ$ que tiene un tamaño $\dfrac{p-1}{2}$ . Por último, si $q \in Q$ entonces $qQ=Q$ y $aQ=aqQ$ .

Answer 3

Supongamos que $p>2$ . Desde $G=\mathbb{F}_p^*$ es un grupo cíclico, dado cualquier $g$ tal que $\langle g\rangle =G$ tenemos que los residuos cuadráticos en $G$ son exactamente los elementos de la forma $g^{\text{even}}$ y los residuos no cuadráticos los elementos de la forma $g^{\text{odd}}$ . Se deduce que los residuos cuadráticos son exactamente $\frac{p-1}{2}$ y el producto de dos no-residuos cuadráticos es un residuo cuadrático, ya que $\text{odd}+\text{odd}=\text{even}$ .