Por el teorema de Borel, para cualquier secuencia de números reales $a_n,$ hay un $C^{\infty}$ -función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ cuya serie de Taylor en 0 es $\sum a_nx^n.$ En particular, hay $C^{\infty}$ -cuyas series de Taylor en un punto tienen un radio de convergencia 0. Motivado por esto me surge la siguiente pregunta. ¿Existe una $C^{\infty}$ -función $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ cuya serie de Taylor tiene un radio de convergencia 0 en cada punto en $\mathbb{R}?$ Me doy cuenta de que esto puede sonar como un problema de deberes, pero, bueno, no lo es.
Respuestas
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S.S. Kim y K.H. Kwon dieron un ejemplo explícito de un monótono función suave pero no analítica en ninguna parte ( enlace ), que es una antiderivada de la función $$\psi(x)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k!}\phi(2^k(x-[x])),$$ donde $$\phi(x) = \begin{cases} \exp{\left(-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{(x-1)^2}\right)},\qquad & 0 < x < 1,\ \\\ \\\ 0, & \mbox{otherwise.} \end{cases}$$
De hecho, el conjunto de funciones analíticas suaves pero en ninguna parte sobre $\mathbb R$ es de la segunda categoría en $C^{\infty}(\mathbb R)$ (al igual que el conjunto de todas las funciones continuas pero no diferenciables en ninguna parte es de la segunda categoría en $C(\mathbb R)$ ). Véase una nota de una página de R. Darst " La mayoría de las funciones infinitamente diferenciables no son analíticas en ninguna parte " .
Editar. Kim y Kwon mencionan en su artículo que el primer ejemplo concreto de suavidad
pero la función analítica de ninguna parte se remonta a A Pringsheim ( "Sobre la teoría de las series de Taylor y las funciones analíticas con dominio de existencia acotado". Matemáticas. Ann. 42 ( 1893 ), nº 2, 153-184).
Wheelie
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Bien, Bruce, una vez que has decidido revivirlo, vamos a construir un ejemplo que aborde la pregunta tal y como se ha planteado desde cero.
Dejemos que $f_k(x)=(k!)^{-3k+2}\cos ((k!)^3 x)$ . Tenga en cuenta que $f_k$ y su primer $k-1$ derivados son inferiores a $(k!)^{-1}$ mientras que en cada punto $f_k^{(k)}(x)^2+f_k^{(k+1)}(x)^2\ge (k!)^4$ . Ahora sólo tienes que escribir $$ f=\sum_{k\in K} f_k $$ donde $K$ es un conjunto disperso de enteros. Claramente tenemos convergencia en $C^\infty$ no importa cómo elijamos $K$ . Ahora sólo queremos asegurarnos de que el $k$ -y $k+1$ -sus derivaciones de $f_k$ uno de los cuales es enorme no son asesinados por otros términos. Los términos posteriores nunca son un problema si $K$ es $2$ -separado. Para eliminar los términos anteriores, podemos construir $K$ de forma inductiva. Si ya tenemos unos primeros miembros $k_1,\dots, k_p$ podemos observar que la suma de estos primeros $p$ términos es entera y periódica (¡la cabeza, no la cola!), por lo que su $k$ -y $k+1$ -derivados de la primera en $\mathbb R$ están uniformemente limitados por $C(k+1)!$ con $C$ dependiendo sólo del segmento inicial $k_1,\dots, k_p$ . Pero esto no es suficiente para matar (o incluso para interferir notablemente con) el límite inferior uniforme de orden $(k!)^2$ tenemos para el máximo de la $k$ -y $k+1$ -sus derivaciones de $f_k$ si el siguiente $k$ es lo suficientemente grande.
Si quieres una función estrictamente monótona, sólo tienes que añadir un gran múltiplo constante de $x$ .
JPrescottSanders
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Ninguna de las respuestas responde exactamente a la pregunta formulada. La pregunta plantea si la serie de Taylor de una función suave en cada punto puede tener radio de convergencia 0. Esto es más restrictivo que no ser analítica en ningún lugar. Las respuestas sólo tratan esta cuestión más débil. La serie de Taylor de la función de Fabius en cualquier racional diádico tiene en realidad un radio de convergencia infinito (sólo un número finito de términos es distinto de cero), pero no representa la función en ningún intervalo.
Hay que señalar que la prueba en el artículo de Kim y Kwon es incorrecta, y aunque es muy probable que la función que consideran no sea analítica en ninguna parte, no veo cómo demostrarlo. (Su "prueba" asume que la suma de una cola de la serie es analítica, lo que esencialmente contradice la conclusión que intentan demostrar).
De hecho, no conozco un ejemplo de lo que pregunta el autor, aunque el ejemplo de Kim y Kwon es un candidato. Hay un ejemplo en Big Rudin (Capítulo 19, problema 13) de una función suave de valor complejo en R cuya serie de Taylor tiene radio de convergencia cero en cada punto, pero el argumento allí no parece ser adaptable para obtener un ejemplo de valor real; en particular, no está nada claro que las partes real e imaginaria de este ejemplo tengan la propiedad deseada. La cuestión planteada parece muy interesante, quizás bastante difícil y posiblemente abierta.
JPrescottSanders
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Bien. Pensé que algo así podría funcionar.
Una pregunta más antes de salir de este tema, que podría ser más difícil (¡o más fácil!): ¿qué pasa con el otro extremo? ¿Existe una función suave en un intervalo en $\mathbb R$ ¿ no analítica en ningún subintervalo, cuya serie de Taylor en cada punto tiene radio de convergencia positivo? La función Fabius podría ser un ejemplo, pero esto es cuestionable ya que la $n$ tiene el máximo de la derivada $2^{\sigma(n)}$ , donde $\sigma(n)=\frac{n(n+1)}{2}$ que no es lo suficientemente bueno utilizando una estimación burda del radio de convergencia si hay puntos en los que muchas derivadas están cerca del máximo.
