¿Cómo de grande es el espacio de las matrices de densidad, realmente?

Question

Suponiendo un espacio de Hilbert subyacente $\mathcal{H}$ de tamaño $D$ para las funciones de onda $|\psi\rangle$ de un sistema de muchos cuerpos, las matrices de densidad viven el espacio de operadores cuadráticamente más grande $\hat{\rho}\in \mathcal{O}=\mathcal{H}\otimes\mathcal{H}^*$ de tamaño $D^2$ . Esto tiene fuertes consecuencias limitantes, por ejemplo si uno quiere resolver numéricamente las ecuaciones maestras. Por supuesto, hay algunas restricciones adicionales (hermitiana, definida positiva, traza unitaria) a las matrices de densidad en comparación con los elementos generales de $\hat{\rho}\in \mathcal{O}$ pero no creo que haya mucha diferencia conceptual.

Ahora, considera la pureza de los estados $\mu=Tr \hat\rho^2 $ (o equivalentemente, cualquier otra noción de entropía). Sabemos que los estados puros que pueden describirse sólo con una función de onda, tienen $\mu=1$ una única restricción escalar. Esto significa que las matrices de densidad pura, viven en una hipersuperficie de $\mathcal{O}$ con dimensión $D^2-1$ . Esto parece una descripción mucho menos eficiente que las funciones de onda.

Ahora, consideremos lo contrario. Partimos de la hipersuperficie del "estado puro" y la abandonamos afinando $\mu$ . Esto podría hacerse de forma única y ortogonal (siguiendo el gradiente de $\mu$ ) mediante la ortogonalización de Gramm-Schmitt. Esto implica que sólo se necesitaría un número adicional para describir los estados mixtos, en comparación con los puros.

Entonces, podríamos concluir que para todos los estados mixtos, podemos describirlos como funciones de onda en $D+1$ ¡sólo dimensiones! En realidad, podríamos incluso dejar de lado el $+1$ explotando un grado de libertad restante, ¡la normalización de la función de onda!

La contrapartida de esta construcción sería que perderíamos la linealidad de la mecánica cuántica, pero aun así, el resultado, que los estados mixtos pueden describirse como funciones de onda, me parecería espectacular.

Probablemente, se me escapa algo en mi razonamiento, porque si no este resultado sería bastante conocido y explotado. ¿Alguien sabe lo que es?

Answer 1

Si entiendo la pregunta, parece que se trata de encontrar un espacio hilbert cuyos estados (puros) codifiquen la misma información que las matrices de densidad (posiblemente mixtas) de algún otros sistema físico.

Yo diría que esto no parece prometedor, por la siguiente razón geométrica/topológica. Tome el espacio de los rayos en el espacio de Hilbert (es decir, los estados hasta la escala). Para un $n$ -espacio de Hilbert, es decir, la variedad $$ \mathbb{CP}^{n-1} $$ (comprobar: para $n=2$ se obtiene $\mathbb{CP}^1=S^2$ la esfera de Bloch). Se trata de un colector compacto (básicamente: volumen finito), sin límites.

Por otro lado, el espacio de las matrices de densidad es siempre un colector con límite. (Esto es básicamente una especie de bola rellena. El límite viene dado por la ecuación ${\rm Tr}[\rho^2]=1$ .) Para $n=2$ Este límite es sólo la esfera de Bloch.

Así que, aunque evidentemente se pueden elegir las dimensionalidades para que el colector de estados mixtos tenga la misma dimensión que el colector de estados puros de algún otro sistema (eso es esencialmente lo que estás contando en tu pregunta), los colectores siempre serán diferentes. Y esto debería preocuparte: si comparas la variedad de rayos en el espacio de Hilbert con la variedad de puro matrices de densidad en su lugar, se obtienen los mismos colectores en ambos lados. (De hecho, esto muestra cómo para los estados puros las descripciones de la matriz de densidad y de ket son equivalentes).

Answer 2

Intentaré formular una respuesta física con un conocimiento matemático limitado. En primer lugar, las matrices de densidad (a diferencia de las funciones de onda) no viven en un espacio vectorial, sino en el conjunto convexo $\mathcal{S}$ definido por: $$ \mathcal{S}=\{\rho\in\mathcal{T}(\mathcal{H)}\text{ such that }\rho\geq 0,\text{Tr}[\rho]=1\}, $$ donde $\mathcal{T}(\mathcal{H})$ es el espacio de operadores en el espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ con un trazo bien definido. Por lo tanto, no sé si la "dimensión" del espacio de la matriz de densidad puede definirse rigurosamente. Veo que hay algunos definiciones de la dimensión de los conjuntos convexos pero puedo decir que nunca los he visto aplicados en el contexto de las matrices de densidad. Esto no significa que los físicos matemáticos no empleen esta noción, pero de todos modos creo que el tema en cuestión aquí es el número de parámetros reales que necesitamos para definir una matriz de densidad. Podemos utilizar el concepto de esfera de Bloch generalizada [1]: cualquier matriz de densidad $\rho$ de un $N$ -El espacio de Hilbert de una dimensión se puede escribir como: $$ \rho=\frac{\mathbb{I}}{N}+\sum_{i=1}^{N^2-1}\tau_i\sigma_i, $$ donde $\sigma_i$ son los generadores de $SU(N)$ y $\{\tau_i\}_{i=1}^{N^2-1}$ es una colección de $N^2-1$ números reales. Es decir, cualquier matriz de densidad está definida unívocamente por $N^2-1$ parámetros reales. A continuación, hay que aplicar algunas restricciones (desigualdades) a este conjunto de números reales para que $\rho$ sea una matriz de densidad bien definida (véase, por ejemplo, la Ref. $~$ [2]), pero esto no reduce el número de parámetros reales libres. Esto parece indicar que es imposible describir una matriz de densidad mediante $2N$ parámetros reales sólo como usted sugiere.

¿Qué puede haber de malo en su razonamiento? Yo diría que hay algún truco sobre las dimensiones matemáticas, que ya no es la dimensión de un espacio vectorial. De todos modos, no entendí cómo se obtiene la construcción de cualquier estado mixto que propones, basado en la pureza y en un solo estado puro.

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Esta construcción es clara sólo para el caso $N=2$ En este caso, el conjunto de estados físicos viene dado por la bola cerrada definida por $||\boldsymbol{\tau}||=\sqrt{\sum_{i=1}^3 \tau_i^2}<1$ (esta es la única restricción adicional en la colección $\{\tau_i\}_{i=1}^3$ ), y el conjunto de estados puros coincide con la superficie de dicha bola. La pureza de $\rho$ es una función de la longitud del vector $||\boldsymbol{\tau}||$ , $\mu[\rho]=\frac{1}{2}\left(1+||\boldsymbol{\tau}||^2\right)$ . Por lo tanto, cualquier estado mixto que viva en el interior de la bola puede ser definido de forma única por su pureza y el estado puro más cercano en la superficie. Para $N>2$ Sin embargo, surgen muchos problemas: aunque la pureza de cualquier estado $\rho$ sigue estando dada por la fórmula $\mu[\rho]=\frac{1}{2}\left(1+||\boldsymbol{\tau}||^2\right)$ el espacio de los estados físicos ya no es un hiperbólido y el conjunto de estados puros no coincide con el límite de la esfera de Bloch generalizada [2].

[1] Bengtsson y Zyczkowski, Geometry of quantum states: an introduction to quantum entanglement. Cambridge University Press (2006).

[2] Goyal et al., J. Phys. A: Math. Theor. 49, 165203 (2016).

Answer 3

Si $d$ es la dimensión de su espacio de Hilbert, entonces el espacio de las matrices de densidad tendrá la dimensión $d^2-1$ .

Si $\{\vert\alpha\rangle,\alpha=1,\ldots, d\}$ abarcan su espacio de Hilbert, entonces puede hacer $d^2$ operadores del tipo $\vert \alpha \rangle\langle\beta\vert$ y se puede expandir la matriz de densidad en términos de estos operadores. Los coeficientes de expansión pueden ser complejos es decir $2d^2$ números reales, pero la matriz de densidad debe ser hermitiana: la $d$ las entradas diagonales deben ser reales, por lo que $d$ limitaciones, y la hermeticidad aportan otra $\frac{1}{2}d(d-1)$ restricciones en los números complejos fuera de la diagonal, o $d(d-1)$ restricciones sobre los números reales. Así, tenemos $$ 2d^2-2\times \frac{1}{2}d(d-1)-d= 2d^2-d^2+d-d=d^2\, . $$ La última restricción es la normalización, ya que las entradas de la diagonal deben sumar $1$ .

El número de parámetros crece cuadráticamente, lo que sigue siendo polinómico, pero algo costoso si se tienen grandes espacios de Hilbert derivados de estados multipartícula. Este crecimiento es un razón por la cual las funciones de Wigner son de interés ya que el número de parámetros en la WF no depende del número de partículas.

Answer 4

La matriz de densidad es una función de la función de onda. Suponiendo que D es la dimensión compleja, dada la libertad de multiplicar por una fase $e^{i\alpha}$ para cada dimensión del conjunto de estados para la misma matriz de densidad, debería ser simplemente $D-1$ .

Parece que he entendido mal la pregunta del OP. Si era para el cálculo de posibles operadores de densidad para sistemas desconocidos con un espacio de Hilbert dado, el número de tales operadores es el mismo que el número de "funciones marco", que se define en la esfera de Bloch sujeto a $\sum_i f(x_i)=1$ para cualquier base ortonormal $x_i$ , por lo que es infinitamente dimensional. Puedes ver la descripción de la función marco en el teorema de Gleason: https://en.wikipedia.org/wiki/Gleason%27s_theorem .