insphere/circumsphere relación de un poliedro de la misma como su doble poliedro?

Question

Es el $r/R$ ratio para cualquier poliedro siempre el mismo que el $r/R$ proporción del doble de ese poliedro?

Dado cualquier poliedro, podemos encontrar el mayor ámbito que se ajusta dentro de ella (su insphere) y la más pequeña esfera fuera de ella (su circumsphere). Estoy interesado en $r/R$, que es la relación entre el radio de la insphere a la radio de la circumsphere.

Motivación: el peor de los casos de distorsión lineal de un poliédrica mapa global de proyección es de aproximadamente (al menos) $r/R$. El $r/R$ proporción es una de muchas maneras de medir cuán cerca de un poliedro es una esfera. Algunas de esas medidas decir que el dodecaedro es el más sólido Platónico a la esfera. Otros dicen que el icosaedro es el más sólido Platónico a la esfera. Poliedros con mayor r/R relación son mejores, en el sentido de que ellos (por lo general) producir mapas con menos distorsión lineal. Me sorprendo al descubrir que esa relación parece ser iguales entre el dodecaedro y el icosaedro ( ~ $0.7946$ ), y de un tamaño algo menor) a la proporción es la misma entre el cubo y el octaedro ( ~ $0.5773$). (No estoy tan sorprendido de que un (incluso menor) a la proporción es la misma entre el resto de sólido Platónico y su doble poliedro: $1/3$). Puede este sorprendente para mí el hecho de ser generalizado a algunos de los grupos grandes de poliedros? ¿Qué otras poliedro tienen un $r/R$ relación de la misma como la $r/R$ proporción de su doble poliedro? Hacer cualquier poliedro tienen un $r/R$ proporción diferente de la $r/R$ proporción de su doble poliedro?

Answer 1

(En esta respuesta, tal como lo hago yo la pregunta que hizo, llamando a la más pequeña esfera que contiene el circumsphere y su centro en el circuncentro, incluso si esta esfera no toca todos los vértices. Del mismo modo, que yo llamo el cubierto más grande de la esfera de la insphere y su centro en el incentro, incluso si esta esfera no toca todos los rostros.)

Suponiendo que el circumcenters y incenters tanto de la original poliedro y el doble de todos coinciden, estas proporciones deben ser las mismas.

Un poliedro convexo que contiene el origen en su interior puede ser descrito como el casco convexo de un conjunto $\{a_i\}\subseteq {\Bbb R}^3$ de los vértices o como la intersección de un conjunto de delimitación de la mitad de los espacios de $\{S_j\}$, donde cada uno de delimitación de la mitad-el espacio es de la forma $$S_j=\{x\mid x\cdot b_j\le 1\}, \qquad b_j\in {\Bbb R}^3. $$

Dejar que el circumsphere estar centrada en el origen, el circunradio $R$ será igual al valor máximo de cualquier $|a_i|$. También, ya que la distancia entre el origen y el avión $\{x\mid x\cdot b_j=1\}$$|b_j|^{-1}$, si el insphere está centrada en el origen, el inradius será igual al valor mínimo de cualquier $|b_j|^{-1}$.

La polar doble de un poliedro puede ser construido por intercambiando las $a_i$s y $b_j$s. Por lo tanto, si el original poliedro había circunradio $R$ y inradius $r$, y si el circuncentro e incentro de la polar doble, todavía están en el origen, la polar de doble debe tener circunradio $1/r$ y inradius $1/R$, y la proporción de $R/r$ de la circunradio a la inradius sigue siendo el mismo.

Por ejemplo, tomar un cuboctahedron con vértices $$ (\pm 1, \pm 1, 0), \ (\pm 1, 0, \pm 1), \ (0, \pm 1, \pm 1). $$ En este caso, el circumsphere y insphere están centrados en el origen. El radio de $\sqrt{2}$ circumsphere toca todos los vértices; la insphere radius $1$ y toca sólo a los rostros cuadrados; y la relación de $R/r$$\sqrt{2}$. El dual de este poliedro es el dodecaedro rómbico, con vértices $$ (\pm 1,0,0), \ (0,\pm 1,0), \ (0,0,\pm 1),\ (\pm\frac12, \pm\frac12, \pm\frac12). $$ El circumsphere y la insphere son ambos todavía centrada en el origen. El circumsphere radius $1$ y toca sólo los vértices donde cuatro caras satisfacer (el primero de los seis de arriba); el insphere radius $1/\sqrt{2}$ y toca todos los rostros; y la relación de $R/r$ aún $\sqrt{2}$.

Answer 2

Sí, es cierto, en dos sólidos. Para el dual de sólidos cubo y octaedro $$\color{blue}{\frac{r}{R}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx 0.577350269}$$ y para dual sólidos dodecaedro y icosaedro $$\color{blue}{\frac{r}{R}=\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{15}}\approx 0.794654472}$$

Para la obtención de los radios $r$ & $R$ para todos los sólidos platónicos, usted puede ir a través de HCR con la Fórmula de la poliedros regulares

Para la tabla de radios $r$ & $R$ para todos los sólidos platónicos, usted puede ir a través de la Tabla de los sólidos platónicos por HCR

Answer 3

la relación no es la misma entre el cubo y el octaedro que no son (~ 0.5773) octaedro 0.577350269 cubo 0.471404521