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$\mathcal{C}^{\alpha}$ Espacios de Besov: Definición

Estoy leyendo un artículo para mi futura tesis (soy estudiante de tercer año) en el que los autores definen los Espacios de Holder generalizados como una clase especial de Espacios de Besov.

Definir $\chi,\tilde{\chi}\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ tal que Supp $(\chi)\subset B(0,8/3) \setminus B(0,3/4)$ y Supp $(\tilde{\chi}) \subset B(0,4/3),$ y tal que $\tilde{\chi}(x)+\sum^{+ \infty}_{k=0} \chi(x/2^k)=1 \quad \forall x\in \mathbb{R}^d$ .

Definir $\chi_{-1}:=\tilde{\chi},$ y $\chi_k(\cdot):=\chi(\cdot/2^k).$ Ahora, $\forall f \in C^{\infty}(\mathbb{T}^d),$ set $\delta_k(f):=\mathscr{F}^{-1}(\hat{f} \cdot \chi_k$ ), donde $\hat{f}(k):=\int_{\mathbb{T}^d}f(x)e^{-2\pi i k\cdot x} dx$ y $\mathscr{F}^{-1}(g)(x):=\sum_{k\in \mathbb{z}^d} g(k)e^{2 \pi i k\cdot x}.$ Heurísticamente, $\delta_k(f)$ es sólo una parte de las frecuencias de la función suave $f.$

Ahora, por cada $\alpha \in \mathbb{R},$ podemos definir el $\mathcal{C}^{\alpha}$ norma de una función suave, que es $\|f\|_{\mathcal{C}^{\alpha}}:=sup_{k\geq1} 2^{\alpha k} \|\delta_k(f)\|_{L^{\infty}}.$

El espacio $\mathcal{C}^{\alpha}$ se define como la finalización de $C^{\infty}(\mathbb{T}^d)$ con respecto a esta norma.

La definición dada es un poco diferente de la que se da mayoritariamente en la literatura: el espacio de todas las distribuciones atemperadas tales que la norma mencionada (que está bien definida porque la antitransforma de Fourier de una distribución con soporte compacto es una función) es finita.

Ahora, mis preguntas son:

  1. ¿Por qué el $\mathcal{C}^{\alpha}$ ¿la norma es finita para toda función suave definida en el toro?

  2. Por qué coincide (bueno, no creo que coincidan precisamente, pero deberían ser equivalentes o al menos generar la misma terminación) con la clásica $\alpha-$ Norma del titular ( $\|f\|_{\mathcal{C}^{\alpha}}=sup_{x\neq y} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha}})$ ?

  3. Haga el $\mathcal{C}^{\alpha}$ definidos respectivamente a través de la finalización de $C^{\infty}$ y a través de las distribuciones templadas coinciden?

El artículo se puede encontrar aquí .

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nbevans Puntos 377
  1. En cuanto al primer punto, sólo daré una pista: puedes escribir cada bloque Littlewood-Paley $\delta_k(f)$ como una convolución entre la distribución $f$ y una función suave $\varrho_k$ que te dejo para que lo pienses. El punto crucial es que $\varrho_k(x) = 2^{dk}\varrho(2^kx)$ por cada $k$ y una función suave fija $\varrho.$ Ahora bien, como $\varrho$ tiene coeficientes de Fourier nulos cerca de cero se puede invertir el laplaciano, es decir, para cualquier $\zeta \in \mathbb{N}$ encontrar $\varphi$ tal que $\Delta^\zeta \varphi = \varrho$ y ahora puede utilizar la integración por partes para encontrar su límite (tenga en cuenta que el $\mathcal{C}^{\alpha}$ está limitada por la norma supremum para $\alpha < 0$ ).
  2. Esto es un teorema, pues $\alpha \in (0,1)$ . Una referencia podría ser el libro de Chemin Bahouri y Danchin (Fourier Analysis and nonlinear PDEs) o algunos apuntes en la red. PERO: hay que tomar el espacio definido a través de las distribuciones templadas, NO la terminación de $C^{\infty}.$ El porqué es el contenido del siguiente punto.
  3. $C^{\infty}$ no es denso en $\mathcal{C}^{\alpha}$ si se define este último con distribuciones templadas. Hay que pensar en la diferencia entre las funciones de Lipschitz y $C^1$ funciones. Un ejemplo llamativo en el caso no entero es el siguiente aquí . El resultado que hace que todo funcione COMO SI FUERA $C^{\infty}$ sería denso es la interpolación: si $f_n \to f$ en el sentido de las distribuciones y $$\sup_n\| f_n\|_{\mathcal{C}^{\alpha}} < {+} \infty$$ entonces $f_n \to f$ sur $\mathcal{C}^{\beta}$ para cualquier $\beta < \alpha.$

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