Estoy leyendo un artículo para mi futura tesis (soy estudiante de tercer año) en el que los autores definen los Espacios de Holder generalizados como una clase especial de Espacios de Besov.
Definir $\chi,\tilde{\chi}\in C_{c}^{\infty}(\mathbb{R}^d)$ tal que Supp $(\chi)\subset B(0,8/3) \setminus B(0,3/4)$ y Supp $(\tilde{\chi}) \subset B(0,4/3),$ y tal que $\tilde{\chi}(x)+\sum^{+ \infty}_{k=0} \chi(x/2^k)=1 \quad \forall x\in \mathbb{R}^d$ .
Definir $\chi_{-1}:=\tilde{\chi},$ y $\chi_k(\cdot):=\chi(\cdot/2^k).$ Ahora, $\forall f \in C^{\infty}(\mathbb{T}^d),$ set $\delta_k(f):=\mathscr{F}^{-1}(\hat{f} \cdot \chi_k$ ), donde $\hat{f}(k):=\int_{\mathbb{T}^d}f(x)e^{-2\pi i k\cdot x} dx$ y $\mathscr{F}^{-1}(g)(x):=\sum_{k\in \mathbb{z}^d} g(k)e^{2 \pi i k\cdot x}.$ Heurísticamente, $\delta_k(f)$ es sólo una parte de las frecuencias de la función suave $f.$
Ahora, por cada $\alpha \in \mathbb{R},$ podemos definir el $\mathcal{C}^{\alpha}$ norma de una función suave, que es $\|f\|_{\mathcal{C}^{\alpha}}:=sup_{k\geq1} 2^{\alpha k} \|\delta_k(f)\|_{L^{\infty}}.$
El espacio $\mathcal{C}^{\alpha}$ se define como la finalización de $C^{\infty}(\mathbb{T}^d)$ con respecto a esta norma.
La definición dada es un poco diferente de la que se da mayoritariamente en la literatura: el espacio de todas las distribuciones atemperadas tales que la norma mencionada (que está bien definida porque la antitransforma de Fourier de una distribución con soporte compacto es una función) es finita.
Ahora, mis preguntas son:
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¿Por qué el $\mathcal{C}^{\alpha}$ ¿la norma es finita para toda función suave definida en el toro?
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Por qué coincide (bueno, no creo que coincidan precisamente, pero deberían ser equivalentes o al menos generar la misma terminación) con la clásica $\alpha-$ Norma del titular ( $\|f\|_{\mathcal{C}^{\alpha}}=sup_{x\neq y} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|^{\alpha}})$ ?
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Haga el $\mathcal{C}^{\alpha}$ definidos respectivamente a través de la finalización de $C^{\infty}$ y a través de las distribuciones templadas coinciden?
El artículo se puede encontrar aquí .