¿El límite de una secuencia implica el límite de su infimo?

Question

Me gustaría preguntar: si $ \lim_\limits{n\to\infty} P{(|\frac {S_n}{n} - 1|>\epsilon)} = 0 $ con cualquier $\epsilon$ que es arbitrariamente pequeño, entonces se cumple lo siguiente:

$$ \lim_{n\to\infty} P\left(\frac {S_n}n = 1\right) = 1 $$ Muchas gracias.

Answer 1

Si es cierto que por pequeño que sea $\varepsilon$ es, usted tiene $$\lim_{n\to\infty} \Pr\left( \left| \frac {S_n} n - 1 \right| >\varepsilon \right) = 0, \tag 1$$ entonces lo hace no seguir que $$\lim_{n\to\infty} \Pr \left( \frac {S_n} n = 1 \right) = 1. \tag 2$$

Supongamos que $S_n = X_1+\cdots+X_n$ y $X_1,X_2,X_3,\ldots$ son independientes y $\operatorname{E}X_n = 1$ por cada $n,$ y $\operatorname{var}X_n = \sigma^2 < \infty$ por cada $n.$ Entonces $(1)$ se mantiene. Pero si las distribuciones de $X_n$ son todas iguales y es una distribución continua, entonces $(2)$ no se sostiene, porque $S_n/n$ también tiene una distribución continua, y la probabilidad de que una variable aleatoria de distribución continua sea igual a un número determinado es $0.$