Convergencia débil de las medias integrales

Question

Nota: Esto es un refinamiento de un problema anterior .

Dejemos que $f \in L^1 (\mathbb R)$ . Supongamos que $g_n \in L^1 (\mathbb R)$ son una secuencia de funciones positivas.

Definir, para cada $n$ la función $f_n$ por

$$f_n (x) := \frac{1}{2g_n (x)} \int_{x - g_n (x)}^{x + g_n (x)} f(y) \, dy.$$

Pregunta: ¿Es cierto que si $g_n \to 0$ en $L^1$ fuerte, entonces $f_n \to f$ en la debilidad $L^1$ ¿norma?

Observaciones:

Yuval Peres ha demostrado en el post enlazado que la implicación $g_n \to 0$ en $L^1$ $\Rightarrow$ $f_n \to f$ en $L^1$ no suele ser así.

De hecho, es posible que ninguno de los $f_n$ son incluso en $L^1$ . Como señala, esto está relacionado con el hecho de que la función máxima de Hardy-Littlewood de $f$ no está en $L^1$ y se puede capturar adecuadamente el comportamiento de la función máxima.

Answer 1

Esto es cierto, porque podemos aproximar $f$ en $L^1$ por funciones continuas. Para ellas la afirmación se mantiene claramente, y para la diferencia podemos aplicar la clásica desigualdad máxima de Hardy-Littlewood. A continuación, añadiré algunos detalles.

Definir el operador $T_n$ sobre las funciones en $L^1(\mathbb R)$ por $$(T_nf)(x) := \frac{1}{2g_n (x)} \int_{x - g_n (x)}^{x + g_n (x)} f(y) \, dy.$$

Por [1], $T_n$ mapas $L^1$ a funciones con norma L^1 débil finita, véase [2] para la definición.

Dado $f \in L^1(\mathbb R)$ y $\epsilon>0$ existe una función continua $h$ con soporte compacto, $h \in C_c(\mathbb R)$ , de tal manera que $\|f-h\|_1<\epsilon.$ Dejemos que $\mu$ sea la medida de Lebesgue. Por [1], para todo $\lambda>0$ , $$\mu\{x \in \mathbb R: |T_n(f-h)(x)|>\lambda/2 \} \le \frac{2C_1 \epsilon}{\lambda} \,, \tag{1}$$ donde $C_1$ es una constante absoluta.

Desde $h$ es uniformemente continua y $g_n \to 0$ en probabilidad, el teorema de convergencia acotada da que $\|T_n h-h\|_1 \to 0$ como $n \to \infty$ . Así, para todos los $n>n_\epsilon$ tenemos $\|T_n h-h\|_1<\epsilon$ Así que $$\mu\{x \in \mathbb R: |T_n(h)(x)|>\lambda/2 \} \le \frac{2\epsilon} {\lambda}\,. \tag{2}$$

Por (1) y (2), para todo $n>n_\epsilon$ , $$\mu\{x \in \mathbb R: |T_n(f)(x)|>\lambda \} \le \frac{(2+2C_1)\epsilon} {\lambda}\,,\tag{2}$$ según sea necesario.

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Hardy%E2%80%93Littlewood_maximal_function

[2] https://en.wikipedia.org/wiki/Lp_space#Weak_Lp