¿Prueba de varianza finita?

Question

¿Es posible comprobar la finitud (o existencia) de la varianza de una variable aleatoria dada una muestra? Como nulo, sería aceptable o bien {la varianza existe y es finita} o bien {la varianza no existe/es infinita}. Desde el punto de vista filosófico (y computacional), esto parece muy extraño porque no debería haber diferencia entre una población sin varianza finita y otra con una varianza muy grande (digamos > $10^{400}$ ), por lo que no tengo esperanzas de que este problema pueda resolverse.

Un enfoque que me habían sugerido era a través del Teorema del Límite Central: suponiendo que las muestras son i.i.d., y que la población tiene una media finita, se podría comprobar, de alguna manera, si la media de la muestra tiene el error estándar correcto con el aumento del tamaño de la muestra. Sin embargo, no estoy seguro de que este método funcione. (En particular, no veo cómo convertirlo en una prueba adecuada).

Answer 1

Un enfoque que me habían sugerido era a través del Teorema Central del Límite.

Esta es una pregunta antigua, pero quiero proponer una manera de utilizar el CLT para probar las colas grandes.

Dejemos que $X = \{X_1,\ldots,X_n\}$ sea nuestra muestra. Si la muestra es una realización i.i.d. de una distribución de cola ligera, entonces se cumple el teorema CLT. De ello se deduce que si $Y = \{Y_1,\ldots,Y_n\}$ es una remuestra bootstrap de $X$ entonces la distribución de:

$$Z = \sqrt{n}\times\frac{mean(Y) - mean(X)}{sd(Y)},$$

también se acerca a la función de distribución N(0,1).

Ahora sólo tenemos que realizar un gran número de bootstraps y comparar la función de distribución empírica de las Z observadas con la f.d.e. de un N(0,1). Una forma natural de realizar esta comparación es la Prueba de Kolmogorov-Smirnov .

Las siguientes imágenes ilustran la idea principal. En ambas imágenes, cada línea de color se construye a partir de una realización i.i.d. de 1000 observaciones de la distribución particular, seguida de 200 remuestreos bootstrap de tamaño 500 para la aproximación de la ecdf de Z. La línea continua negra es la cdf de N(0,1).