Cómo probar $\sum_{j=1}^{n}x_{j}\prod_{i=j+1}^{n}(1-x_{i})=1-(1-x_{1})(1-x_{2})\cdots(1-x_{n})$

Question

Dejemos que $x_{i}\in R$ , demuestran que $$\sum_{j=1}^{n}x_{j}\prod_{i=j+1}^{n}(1-x_{i})=1-(1-x_{1})(1-x_{2})\cdots(1-x_{n})$$

Sé que esto $$1-(1-x_{1})(1-x_{2})=x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}$$

Pero no puedo probar mi problema. ¿Tal vez hay una explicación de la teoría de la probabilidad?

Answer 1

Podemos hacerlo por inducción: $$\begin{align} 1 - (1 - x_1)(1 - x_2) \dots (1 - x_n) = & 1 - (1 - x_2) \dots (1 - x_n) + x_1 (1 - x_2) \dots (1 - x_n) \\ = & \sum_{j=2}^n x_j \prod_{i=j+1}^n (1 - x_i) + x_1 (1 - x_2) \dots (1 - x_n) \\ = & \sum_{j=1}^n x_j \prod_{i=j+1}^n (1 - x_i) \end{align}$$

Un punto de vista probabilístico: Supongamos que tenemos $n$ eventos independientes $A_i$ , cada una de ellas con una probabilidad $0 \le x_i \le 1$ , $1 \le i \le n$ . Consideremos ahora el caso de que al menos uno de $A_i$  sucede. Esto es claramente $1 - (1 - x_1) \dots (1 - x_n)$ . Por otro lado, podemos expresar la unión $\bigcup_{i} A_i$ como $$A_n \cup (A_{n-1} \setminus A_n) \cup (A_{n-2} \setminus (A_n \cup A_{n-1}) \cup \dots \cup (A_1 \setminus (A_n \cup \dots \cup A_{2}))$$ Se trata de una unión de conjuntos disjuntos, que también puede escribirse de la forma $$A_n \cup (A_{n-1} \cap A_n^c) \cup \dots \cup (A_1 \cap A_n^c \cap \dots \cap A_2^c)$$ y por lo tanto tiene la probabilidad $\sum_{j=1}^n x_j \prod_{i=j+1}^n (1 - x_i)$ .

Answer 2

Para cualquier conjunto de índices $I$ tenemos $$\prod_{i\in I}(1-x_i)=\sum_{A\subseteq I} \prod_{i\in A}(-x_i),$$ donde la suma se realiza sobre todos los subconjuntos de $I$ . Aplicado a $I=\{1,2,\dots,n\}$ esto da $$\prod_{i=1}^n(1-x_i)=\sum_{A\subseteq \{1,2,\dots, n\}} \prod_{i\in A}(-x_i).$$

Ahora separa las contribuciones de, primero el conjunto vacío, y luego los subconjuntos de $\{1,2,\dots, n\}$ cuyo menor elemento es $j$ . Dejar $A=\{j\}\cup B$ Esto da como resultado \begin{eqnarray*}\prod_{i=1}^n(1-x_i)&=& \sum_{A\subseteq \{1,2,\dots, n\}} \prod_{i\in A}(-x_i)\\ &=&1+\sum_{j=1}^n (-x_j) \sum_{B\subseteq\{j+1,\dots, n\}} \prod_{i\in B}(-x_i)\\ &=&1-\sum_{j=1}^n x_j \prod_{i=j+1}^n(1-x_i). \end{eqnarray*}