Las intersecciones de 2 círculos

Question

Vamos a considerar los siguientes (al azar) pregunta:

Encontrar las intersecciones de los círculos $c_1: x^2+y^2=25$ $c_2: (x-2)^2 + (y-3)^2=9$

Para solucionar esto podemos hacerlo $c_2-c_1$, lo cual nos deja con $y=-\dfrac{4}{6}x+\dfrac{29}{6}$.

Si tenemos entonces sustituto de la $y$ en uno de los círculos, podemos obtener las intersecciones.

Mi pregunta, tan simple, es: ¿por Qué? Lo que hace la línea de $y=-\dfrac{4}{6}x+\dfrac{29}{6}$ representan? Por qué vamos a obtener las intersecciones si sustituimos esta línea en particular, en la ecuación de los círculos? Alguien puede dar una explicación intuitiva?

Answer 1

Las fotos siempre ayudan:

La línea puede obtener se deriva, esencialmente, por la expresión de cada círculo como una ecuación igual a 0 y, a continuación, la equiparación de los círculos (que es esencialmente restando la ecuación de un círculo de la de los otros) para encontrar la ecuación de la recta $$\mathcal{l}: y=-\dfrac{4}{6}x+\dfrac{29}{6}$$ that passes through the points at which the circles intersect, say $p_1, p_2$. Since there are only two points of intersection, recall that two points define a line, so it is fitting that equation for $\mathcal{l}$ es una línea que conecta (y de paso a través) de los puntos. (Véase el amarillo-marrón de línea.)

Pero esa línea sí mismo no nos dice lo que los puntos de intersección.

Esta línea tiene un número infinito de puntos; para determinar cual de esos puntos son en realidad puntos que ambos círculos tienen en común (es decir, para determinar el estado de los puntos de intersección), utilizamos la ecuación de la línea de $\mathcal{l}: y = $, expresado como una función de la $x$, y el sustituto de la $y$ en cualquiera de los círculos de la ecuación. Al hacerlo, obtenemos los puntos en los círculos que se encuentran en $\mathcal{l}$ y así obtener los puntos de $p_1, p_2$donde $c_1, c_2$ se cruzan.

Answer 2

Supongamos que tenemos algún tipo de ecuaciones $c_1$ $c_2$ de formas arbitrarias (ahora círculos), utilizando el $2$ coordinar las variables de $x,y$. Entonces, si $P=(x_0,y_0)$ es un punto común de las dos formas, significa exactamente eso $c_1(x_0,y_0)$ $c_2(x_0,y_0)$ son válidas las declaraciones, en consecuencia, también lo son la suma de los mismos o cualquier combinación lineal: $\alpha c_1+\beta c_2$$\alpha,\beta\in\Bbb R$.

Ahora, geométricamente, ¿qué hacen estas combinaciones lineales representan en el caso original de los círculos? Va a ser casi siempre un círculo, pero, si $\alpha+\beta=0$, se convierte en la ecuación de una recta. Pero esta línea aún comparte los puntos en común de $c_1$ $c_2$ por el anterior comentario.

Entonces, lo que usted llama 'substitue la línea' en una de las ecuaciones originales, decir $c_1$, le dará la inteersections de la línea y el círculo: básicamente se trata sólo de resolver el sistema de ecuaciones.

Ver también esta foto.