¿Qué expresión de aproximación era más preciada?

Question

Considere la expresión $$\lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h, y+h) -f(x,y)}{h} $$

¿La parte del numerador se aproxima mejor como $$f(x+h, y+h)\approx f(x,y)+h\partial_xf(x,y)+h\partial_yf(x,y)$$ o $$f(x+h, y+h)\approx f(x,y)+h\partial_xf(x,y+h)+h\partial_yf(x+h,y)$$

Parecían ser equivalentes en el primer orden del papel si se ampliaba a $f(x,y)$ (Por ejemplo, los métodos Runge-Kutta se comportan mejor en algunos casos).

¿La segunda aproximación sería "formalmente" más precisa?

(Una referencia de la expansión de Taylor para la multivariable alrededor del $f(\vec a)$ )

La pregunta surgió porque se quería averiguar el valor de una "derivada" en la que se acoplaban dos argumentos $$\frac{f(x,y)}{\partial x+y}$$ donde se impuso una condición adicional a $x$ y $y$ con $x<<y$ .

Answer 1

$f_0=f(x+h, y+h)$ , $f_1=f(x,y)+h\partial_xf(x,y)+h\partial_yf(x,y)$ , $f_2=f(x,y)+h\partial_xf(x,y+h)+h\partial_yf(x+h,y)$ .

$f_0=f_1+\frac{h^2}{2} \partial^2_{xx} f(x,y)+\frac{h^2}{2} \partial^2_{yy} f(x,y)+h^2 \partial^2_{xy} f(x,y)+o(h^2)$ , $f_2=f_1+2 h^2 \partial^2_{xy} f(x,y)+o(h^2)$ .

La precisión de $f_1$ y $f_2$ depende de la propia función. Supongamos que $f(x,y)=(x-y)^2$ entonces $\partial^2_{xy} f(x,y)=-2$ , $\partial^2_{xx} f(x,y)=\partial^2_{yy} f(x,y)=2$ entonces $f_0=f_1+o(h^2)$ , $f_2=f_1-4h^2+o(h^2)$ .