Si $ r =1 $ entonces ambas afirmaciones son trivialmente ciertas, por lo que se asume $ r \ge 2 $ .
Cada $ p_i $ se ramifica en $ K $ . Si $ P_i = ( \gamma ) $ es principal, entonces de $ P_i^2 = p_i \mathcal{O}_K $ conseguimos que $ \gamma^2 $ y $ p_i $ difieren en una unidad en $ \mathcal{O}_K $ . Los únicos campos cuadráticos imaginarios con unidades distintas de $ \pm 1 $ son $ \mathbb{Q}(i) $ y $ \mathbb{Q}( \omega) $ lo que no es el caso aquí. Así que $ \gamma^2 = p_i $ o $ \gamma^2 = -p_i $ . El primer caso no es posible ya que $ \sqrt{p_i} \in K \implies K = \mathbb{Q} (\sqrt{p_i}) $ una contradicción. Así que estamos en el segundo caso, demostrando (1). (En realidad, el segundo caso implica que $ K = \mathbb{Q} (\sqrt{-p_i}) $ , una contradicción de nuevo, mostrando que $ P_i $ nunca puede ser principal si $ r \ge 2 $ .)
Definir el homomorfismo $ G = (\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z})^r \rightarrow C_K $ enviando el $ 1 $ en $ i $ -a la clase de $ P_i $ . El núcleo de este mapa es precisamente el orden $ 2 $ subgrupo generado por $ a = (1,1, \ldots, 1) $ . En realidad se trata del mismo argumento que antes: Si un producto de primos $ J = P_{i_1} \cdots P_{i_k} = (\beta) $ es principal, con $ k < r $ entonces $ J^2 = (p_{i_1} \cdots p_{i_k}) \mathcal{O}_K $ es decir $ \beta^2 = \pm p_{i_1} \cdots p_{i_k} $ que no es posible. $ I = P_1 \cdots P_r $ es efectivamente principal como $$ I^2 = (p_1 \cdots p_r) \mathcal{O}_K = d \mathcal{O}_K = ((\sqrt{-d}) \mathcal{O}_K)^2 $$ Por lo tanto, el ideal fraccionario $ J = I^{-1} ((\sqrt{-d}) \mathcal{O}_K) $ satisface $ J^2 = \mathcal{O}_K $ y en un dominio Dedekind, esto sólo es posible si $ J = \mathcal{O}_K $ (Para ver esto, recuerde que $ J^{-1} $ viene dada explícitamente por $ \{ x \in K | xJ \subset \mathcal{O}_K \} $ ). Así que $ I = (\sqrt{-d}) \mathcal{O}_K $ es principal y $ C_K $ contiene un subgrupo isomorfo a $ G/ \langle a \rangle $ . Este último grupo es isomorfo a $ (\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z})^{r-1} $ , lo que demuestra (2).
