Este es un tema bastante antiguo, pero sentí que podría tener lo que estás buscando.
En respuesta a algunas de las respuestas, usted escribe:
Dado que la aceleración angular es siempre tangencial, yo esperaría que la parte superior debería salir en espiral hasta caer al suelo.
Absolutamente, eso es lo que debe esperar que ocurra. Y lo hace... momentáneamente. La solución final es un poco más complicada que la simple rotación uniforme alrededor del eje vertical.
Para entenderlo, imagina que coges una peonza que acabas de poner en el tiempo $t = t_0 $ en el suelo. Ahora, lo que sucede en el siguiente instante es exactamente lo que se intuye: la parte superior comienza a caer bajo la influencia de la gravedad y $ \phi $ (ver figura para la notación) comienza a aumentar pasando de $ \phi \rightarrow \phi + \delta \phi $ en el momento $t_1$ . En consecuencia, el momento angular $ \mathbf{L} $ de los cambios superiores.
Esto es similar a lo que ocurre en la segunda figura de la página de hiperfísica, donde $\delta \mathbf{L}$ está en la dirección de $ \delta \theta $ , sólo que ahora $ \delta \mathbf{L} $ en la dirección $ \delta \phi $ y se encuentra en el plano que contiene el eje longitudinal $L_A$ de la parte superior y el eje vertical central $V_A$ .
Aumentar $\phi$ disminuye el centro de masa de la parte superior y, por tanto, su energía potencial en una cantidad $ -\delta U $ . Asumiendo la conservación de la energía, esto se traduce en un aumento de la energía cinética $\delta K$ de la parte superior. Dado que la parte superior está obligada a tener un momento lineal nulo, este $ \delta K$ contribuye por completo a la energía de rotación de la cima.
Tenga en cuenta, sin embargo, que la parte superior está ahora girando alrededor de dos diferentes ejes. Un componente es el movimiento original de giro alrededor de sus propios ejes longitudinales y el otro es la rotación inducida por la gravedad alrededor de la dirección $N_A$ normal a el plano que contiene $L_A$ y $V_A$ . Por lo tanto, el $\delta K$ debe repartirse adecuadamente entre estas dos mociones. Veamos cómo sucede esto.
El momento de inercia de la parte superior ( $I_A$ ) alrededor del eje $L_A$ es claramente menor que eso ( $I_V$ ) alrededor del eje $N_A$ . Esto es cierto para todas las partes superiores, excepto las más extrañas. Convénzase de que esto es así. En los circuitos fluye más corriente por los caminos con menor resistencia. Del mismo modo, en mecánica se transfiere más energía al componente con menor inercia. Así, la mayor parte de $\delta K$ irá a aumentar el momento angular de la parte superior alrededor de su eje longitudinal $L_A$ por alguna cantidad $\delta L'$
Ahora, la conservación del momento angular requiere que haya un par correspondiente a este aumento. El efecto de este inducido par de torsión es hacer que la parte superior que cae comience a oscilar hacia arriba. De este modo, en lugar de una espiral, la punta de la peonza traza algo parecido a una cicloide al precesar alrededor del eje central.
Sin embargo, el diagrama parece indicar que la parte superior debería precesar en un círculo, no en una espiral.
La trayectoria circular es una idealización que sólo se consigue en el límite que $\omega_s / \omega_p \rightarrow \infty$ , donde $\omega_s$ es la velocidad angular de giro y $\omega_p$ es la velocidad angular de precesión. Cualquier cima con valores realistas de $\omega_s$ y $\omega_p$ tendrá un "bamboleo" finito.
No habría sabido de esta dinámica bastante elaborada si no fuera por uno de los volúmenes de conferencias de Feynman (Parte I, creo) donde se considera esta cuestión con gran detalle.
La redacción anterior está un poco en el lado de la mano y probablemente hay errores en mi razonamiento. Si quieres saber más sobre el tema, consulta las conferencias de Feynman.
Cheers,
