$T_1$ espacios donde el cierre de un conjunto compacto no es compacto

Question

Tengo muchos problemas con este ejercicio:

Dé un ejemplo de $T_{1}$ Espacio topológico $(X,\tau)$ y un subconjunto $Y\subset X$ compacto tal que $\bar{Y}$ no es compacto.

Ahora, honestamente, conozco este ejemplo:

$X= A\sqcup B$ donde $A$ y $B$ son conjuntos infinitos, y $\tau_{X} = \lbrace\emptyset\rbrace\cup\lbrace \mathcal{U}\in X\mid A\setminus\mathcal{U}$ es finito $\rbrace$

Pero me gustaría encontrar otros ejemplos... el problema es que no sé mucho de Topologías $T_{1}$ pero no $T_{2}$ ; conozco la Topología Cofinita y la Topología de Zariski pero estos ejemplos no funcionan, sé que la extensión de Alexandroff de $\mathbb{Q}$ es $T_{1}$ pero no $T_{2}$ pero no creo que sea un trabajo.

¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

He aquí una amplia generalización de su ejemplo que quizá lo haga parecer más natural. Dado un espacio topológico, se puede añadir cualquier número de "copias" de cualquiera de sus puntos, del mismo modo que se construye la "línea con origen doble" de $\mathbb{R}$ añadiendo otra copia de $0$ .

Para ser precisos, supongamos que $A$ es un espacio topológico, $B$ es un conjunto, y $f:B\to A$ es una función. Entonces podemos definir un espacio topológico $X=A\sqcup B$ con la siguiente topología: un conjunto $U\subseteq X$ está abierto si $U\cap A$ está abierto en $A$ y para cada $x\in U\cap B$ , $U$ contiene una vecindad eliminada de $f(x)$ en $A$ . (La idea es que cada $x\in B$ representa una nueva "copia" del punto $f(x)\in A$ ; si $A=\mathbb{R}$ , $B$ es un singleton, y $f$ mapea el punto de $B$ a $0$ entonces $X$ es exactamente la línea con origen duplicado).

Ahora supongamos además que $A$ es un compacto $T_1$ espacio, $B$ es infinito, y $f(x)$ no está aislado en $A$ para cada $x\in B$ . Entonces $X$ también es un $T_1$ espacio, y $A$ es un subconjunto compacto del mismo. Además, como $f(x)$ no está aislado para todos $x\in B$ el cierre de $A$ en $X$ es todo $X$ . Pero $X$ no es compacto, ya que para cada $x\in B$ el conjunto $A\cup\{x\}$ es abierto, y estos forman una cubierta abierta sin subcubierta finita.

En otras palabras, si tomamos un compacto $T_1$ espacio y añadir infinitas "copias" de puntos no aislados, obtenemos un ejemplo de $T_1$ espacio con un subconjunto compacto cuyo cierre no es compacto. Tu ejemplo es sólo el caso especial en el que se parte de un conjunto infinito con topología cofinita (en ese caso, la función $f$ no importa, ya que todos los puntos tienen los mismos barrios eliminados).

Answer 2

Dejemos que $X=\Bbb N \cup A$ donde $A$ es un conjunto no vacío disjunto de $\Bbb N$ con al menos dos elementos. Una vecindad básica de $n \in \Bbb N$ es $\{n\}$ (por lo que es un punto aislado), mientras que una vecindad básica de $a \in A$ es $\{a\} \cup (\Bbb N \setminus F)$ donde $F \subseteq \Bbb N$ es finito.

Entonces es fácil comprobar que $X$ es $T_1$ que dos barrios cualesquiera de $a \neq a'$ en $A$ se cruzan (por lo que $X$ no es $T_2$ ) y que $N_a:=\Bbb N \cup \{a\}$ es compacto para cada $a \in A$ y para todos $a$ , $\overline{N_a}=X$ y $X$ no es compacto si $A$ es infinito (como $A$ es un subespacio discreto cerrado de $X$ ). Así que esto da un ejemplo.