Probando el límite de una secuencia anidada

Question

Tengo problemas para demostrar la secuencia siguiente límite:

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n}-\sqrt{n})=\frac{1}{2}$

donde $x_{n}=\sqrt{n+\sqrt{n-1 ...\sqrt{2+\sqrt{1}}}}.$

He tenido un montón de problemas; mi intento es multiplicar por el conjugado, pero la expresión resultante continúa con $x_{n-1}.$ También traté de limitar la expresión y aplicar el límite en cada lado, el cual fue fallado. Por otro lado, pienso que puede funcionar con la expresión de $x_{n}=\sqrt{n+x_{n-1}}$ e intentar obtener una ecuación de segundo grado, de resolver y trabajar con una nueva expresión, pero su usless.

Agradezco cualquier ayuda para demostrar este límite.

Answer 1

Por inducción,

$$\sqrt n<x_n<\sqrt{n+\sqrt{2n}}.$$

De hecho, $$\sqrt{n+1}<\sqrt{n+\sqrt n}<x_{n+1}=\sqrt{n+x_n}<\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{2n}}}<\sqrt{n+1+\sqrt{2(n+1)}}.$$

Entonces $$\sqrt{n+\sqrt n}-\sqrt{n+1}<x_{n+1}-\sqrt{n+1}<\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{2n}}}-\sqrt{n+1},$$

$$\frac{\sqrt n-1}{\sqrt{n+\sqrt n}+\sqrt{n+1}}<x_{n+1}-\sqrt{n+1}<\frac{\sqrt{n+\sqrt{2n}}-1}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{2n}}}+\sqrt{n+1}}.$$

Ambos límites tienden claramente a $\dfrac1{1+1}$.

Answer 2

Usando ese $\sqrt{1+\varepsilon}\approx1+\frac12 \varepsilon$$\varepsilon\ll1$.

Ahora defina $a_n\equiv \sqrt{n-1 ...\sqrt{2+\sqrt{1}}}\ll n$ grande $n\gg 1$ obtener $a_n\ll n$, entonces:

$$\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(x_{n}-\sqrt{n})=\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}(\sqrt{n+a_n}-\sqrt{n}) \aprox \displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt{n}\left(1+\frac12\frac{ a_n}{n}\right)-\sqrt{n}\right)= \frac12\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{a_n}{\sqrt{n}}\right)$$

Entonces usted necesita mostrar para $n\gg1$ que $$a_n=\sqrt n$$

Tal vez: $$a_n^2\approx(n-1)+\frac12\frac{n-2}{n-1}+\frac14\frac{n-3}{n-1}+... \approx (n-1)+\frac12+\frac14+...=(n-1)+1 =n$$

Porque $$\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k}=\frac{1}{1-\frac12}=2$$

Answer 3

esta podría ser una dirección... $$ \frac{x_n}{\sqrt{n}} = \sqrt{1+\sqrt{\frac{n-1}{n^2}+\sqrt\frac{n-2}{n^4}}\cdots} \1+ \frac1{2\sqrt{n}} $$