Conservación de la energía en la relatividad general

Question

Entiendo que la conservación de la energía no es una regla en la relatividad general, pero me gustaría saber en qué circunstancias puede seguir siendo posible. Es decir, ¿cuándo es posible asociar una energía potencial al campo gravitatorio, de modo que la energía sea constante en la evolución del sistema?

Estos son algunos ejemplos, ¿hay alguna forma conveniente de definir la energía en estos escenarios?

• Sólo un sistema de ondas gravitacionales.
• Una masa puntual que se mueve en un espacio-tiempo estático (pero arbitrario). Equivale (si no me equivoco) a una masa de prueba que se mueve en el campo de una segunda masa mucho mayor, la masa mayor no se movería.
• Dos cuerpos giratorios de masa similar.

En general, estoy tratando de entender qué nos impide asociar una energía potencial a la métrica. Cuando rompemos la simetría de traslación temporal de un sistema introduciendo un campo electromagnético, podemos seguir conservando la energía definiendo una energía potencial electromagnética. ¿Por qué no podemos hacer lo mismo cuando rompemos la simetría TT haciendo que el espacio-tiempo se curve?

Answer 1

Hay varias formas de responder a esta pregunta. En aras de la brevedad, voy a ser un poco ambiguo. De hecho, todavía se está investigando sobre este tema.

Ciertos espacios-tiempo siempre tendrán una energía conservada. Estos son los espaciotiempos que tienen lo que se llama un vector global de tiempo (o, si se quiere ser súper cuidadoso y pedante, quizás nulo) que mata. Los matemáticos lo definirán como un vector cuya forma reducida satisface la ecuación de Killing: $\nabla_{a}\xi_{b} + \nabla_{b} \xi_{a} = 0$ . Los físicos sólo dirán que $\xi^{a}$ es un vector que genera traslaciones temporales (o nulas) del espaciotiempo, y que la ecuación de Killing sólo nos dice que estas traslaciones son simetrías de la geometría del espaciotiempo. Si esto es cierto, es bastante fácil demostrar que todas las geodésicas tendrán una cantidad conservada asociada a la componente temporal de su traslación, que podemos interpretar como la energía potencial gravitatoria del observador (aunque hay algunos efectos relativistas nuevos; por ejemplo, en el caso de los objetos que orbitan alrededor de una estrella, se observa un acoplamiento entre la masa de la estrella y el momento angular de los objetos en órbita que no aparece clásicamente). El hecho de que puedas definir una energía conservada aquí está fuertemente asociado con el hecho de que puedes asignar una energía conservada en cualquier sistema hamiltoniano en el que el tiempo no aparezca explícitamente en el hamiltoniano--> que la traslación del tiempo sea una simetría del hamiltoniano significa que hay una energía conservada asociada a esa simetría. Si la traslación del tiempo es una simetría del espaciotiempo, se obtiene una energía conservada exactamente de la misma manera.

En segundo lugar, se puede tener una superficie en el espaciotiempo (pero no necesariamente todo el espaciotiempo) que tenga un vector tangente matador conservado. Entonces, el argumento de arriba sigue, pero esa energía es una carga que vive en esa superficie. Dado que las integrales sobre una superficie pueden convertirse en integrales sobre una masa por el teorema de Gauss, podemos, por analogía con la Ley de Gauss, interpretar estas energías como la energía de la masa y la energía dentro de la superficie. Si la superficie es conformal en el infinito de un espaciotiempo asintóticamente plano, ésta es la Energía ADM. Si es el infinito nulo conforme de un espaciotiempo asintóticamente plano, es la energía de Bondi. También se pueden asociar cargas similares a los Horizontes Aislados, ya que tienen asociados vectores de Killing nulos, y ésta es la base de las energías cuasi locales elaboradas por York y Brown, entre otros.

Lo que no se puede tener es una cantidad tensorial definida globalmente que se pueda asociar fácilmente con la "densidad de energía" del campo gravitatorio, o definir una de estas energías para un espaciotiempo general. La razón es que se necesita un tiempo con el que asociar una cantidad conservada conjugada al tiempo. Pero si no hay una forma única de especificar el tiempo, y sobre todo no hay forma de especificar el tiempo de tal manera que genere algún tipo de simetría, entonces no hay forma de avanzar con este procedimiento. Por esta razón, un gran número de espaciotiempos generales tienen características bastante patológicas. Sólo una proproción muy pequeña de soluciones exactas conocidas de la Ecuación de Einstein se cree que tienen mucho que ver con la física.

Answer 2

La conservación de la energía funciona perfectamente en la relatividad general. El lagrangiano general es invariante bajo traslaciones temporales y el Teorema de Noether puede utilizarse para derivar una corriente conservada no trivial y exacta para la energía. Lo único que hace que la relatividad general sea un poco diferente del electromagnetismo es que la simetría de traslación del tiempo forma parte de una simetría gauge más amplia, por lo que el tiempo no es absoluto y puede elegirse de muchas maneras. Sin embargo, no hay ningún problema con la derivación de la energía conservada con respecto a cualquier elección de traslación del tiempo.

Este problema tiene una larga e interesante historia. Einstein dio una fórmula válida para la energía del campo gravitatorio poco después de publicar la relatividad general. A los matemáticos Hilbert y Klein no les gustó la dependencia de las coordenadas en la formulación de Einstein y afirmaron que se reducía a una identidad trivial. Pidieron a Noether que elaborara un formalismo general para las leyes de conservación y afirmaron que su trabajo apoyaba su punto de vista.

El debate continuó durante muchos años, especialmente en el contexto de las ondas gravitacionales, que algunos afirmaban que no existían. Pensaban que las soluciones lineales de las ondas gravitacionales eran equivalentes al espacio plano mediante transformaciones de coordenadas y que no llevaban energía. En un momento dado, incluso Einstein dudó de su propio formalismo, pero más tarde volvió a su opinión original de que la conservación de la energía se mantiene. La cuestión se resolvió finalmente cuando se encontraron soluciones exactas de ondas gravitacionales no lineales y se demostró que sí llevan energía. Desde entonces, esto se ha verificado empíricamente con una precisión muy alta con la observación de la ralentización de los púlsares binarios en acuerdo exacto con la radiación de energía gravitacional predicha del sistema.

La fórmula de la energía en la relatividad general suele darse en términos de pseudotensores como los propuestos por Laundau & Lifshitz, Dirac, Weinberg o el propio Einstein. Wikipedia tiene una buen artículo sobre estos y cómo confirman la conservación de la energía. Aunque los pseudotensores son objetos matemáticamente rigurosos que pueden entenderse como secciones de haces de chorro, a algunas personas no les gusta su aparente dependencia de las coordenadas. Existen otros enfoques covariantes como el superpotencial de Komar o un enfoque más fórmula general de la mina que da la corriente de energía en términos del vector de traslación temporal $k^{\mu}$ como

$ J^{\mu}_G = \frac{1}{16\pi G} (k^{\mu}R - 2k^{\mu}\Lambda - 2{{k^{\alpha}}_{;\alpha}}^{\mu} + {{k^{\alpha}}_{;}}^{\mu}_{\alpha}+ {{k^{\mu}}_{;}}^{\alpha}_{\alpha})$

A pesar de estas formulaciones generales de la conservación de la energía en la relatividad general, hay algunos cosmólogos que siguen opinando que la conservación de la energía es sólo aproximada o que sólo funciona en casos especiales o que se reduce a una identidad trivial. En cada caso, estas afirmaciones se pueden refutar estudiando las formulaciones a las que he hecho referencia o comparando los argumentos dados por estos cosmólogos con situaciones análogas en otras teorías gauge en las que las leyes de conservación se aceptan y siguen reglas análogas.

Un área de especial contención es la conservación de la energía en una cosmología homogénea con radiación cósmica y una constante cosmológica. A pesar de todas las afirmaciones contrarias, una fórmula válida para la conservación de la energía en este caso puede derivarse de los métodos generales y viene dada por esta ecuación.

$ E = Mc^2 + \frac{\Gamma}{a} + \frac{\Lambda c^2}{\kappa}a^3 - \frac{3}{\kappa}\dot{a}^2a - Ka = 0$

$a(t)$ es el factor de expansión universal en función del tiempo normalizado a 1 en la época actual.

$E$ es la energía total en una región de volumen en expansión $a(t)^3$ . Esto siempre llega a cero en una cosmología perfectamente homogénea.

$M$ es la masa total de materia en la región

$c$ es la velocidad de la luz

$\Gamma$ es la densidad de la radiación cósmica normalizada para la época actual

$\Lambda$ es la constante cosmológica, que se considera positiva.

$\kappa$ es la constante de acoplamiento gravitacional

$K$ es una constante que es positiva para el espacio cerrado esférico, negativa para el espacio hiperbólico y cero para el espacio plano.

Los dos primeros términos describen la energía de la materia y de la radiación, con la energía de la materia que no cambia y la radiación que disminuye a medida que el universo se expande. Ambos son positivos. El tercer término es la "energía oscura", que en la actualidad se considera positiva y contribuye a un 75% de la energía no gravitatoria, pero que aumenta con el tiempo. Los dos últimos términos representan la energía gravitatoria, que es negativa para equilibrar los otros términos.

Esta ecuación se mantiene como consecuencia de la conocida Ecuaciones cosmológicas de Friedmann que provienen de las ecuaciones de campo de Einstein, por lo que no es en ningún sentido trivial como algunos han afirmado que debe ser.

Answer 3

Ara seguir con Jerry Schirmer, el vector de Killing define isometrías en una variedad. Si existe un vector de Killing $K_t~=~\partial/\partial t$ esto significa que el impulso $K_t\cdot P~=~$ constante. Se trata, pues, de una afirmación que puede interpretarse como la constancia de un observable etiquetado como energía. Como regla general, si un componente métrico implica el tiempo de forma explícita, y por ejemplo $K_t~\propto~\sqrt{g_{tt}(t)}$ no es propia o la acción de este vector no es una isometría.

Esto ocurre con la ecuación FLRW de la cosmología. En una forma de Sitter tenemos $$ ds^2~=~dt^2~-~e^{\sqrt{\Lambda/3}t}(dr^2~+~r^2d\Omega^2), $$ que tiene una dependencia temporal. Por tanto, no podemos derivar una conservación de la energía a partir de los primeros principios. La curvatura de Ricci es $R_{\mu\nu}~=~\Lambda g_{\mu\nu}$ y para $k~=~0$ la curvatura espacial es cero. La constante cosmológica depende de la densidad de energía del vacío, más los términos de presión. Con la ecuación de estado $p~=~-\rho$ que se aproxima bastante bien a los datos observacionales, se puede hacer un trabajo de equilibrio detallado para demostrar que el universo es una nada neta y sigue siéndolo.

¿Conecta esto con algo más profundo que un simple "balance detallado"? Puede ser, y sospecho que el análisis de Phillip conecta con esto. La métrica de DeSitter es una teoría conforme dependiente del tiempo de una métrica plana. Para $g'~=~\Omega^2g$ el elemento de línea para $g'$ $$ ds^2~=~\Omega^2(du^2~-~d\sigma_{space}^2). $$ Sin embargo, para la variable temporal $du^2~=~\Omega^{-2}dt^2$ $\Omega$ depende del tiempo y $$ ds^2~=~dt^2~-~\Omega^2(t)d\sigma_{space}^2. $$ Esto recupera la métrica de Sitter para $\Omega^2(t)~=~exp(\sqrt{\Lambda/3}t)$ . El espaciotiempo de Sitter es entonces conformemente equivalente a un espaciotiempo plano que trivialmente tiene un $K_t~=~\partial/\partial t$ . Así que el espaciotiempo que observamos con la ecuación de estado $p~=~-\rho$ es una clase de espaciotiempos que son conformes al espaciotiempo plano y que también preservan $E~=~constant$ . Creo que el trabajo de Phillip en esta materia proyecta este caso especial de los espacios-tiempo conformes.