No puedo entender por qué tenemos que dividir $x$ variables en $x^+$ y $x^-$ en Programación Lineal

Question

En este vídeo El profesor del MIT dice que hay que dividir $x$ en $x^+$ y $x^-$ tal que $x = x^+ - x^-$ (a las 53:42) para convertir cualquier LP en formato estándar.

El formulario estándar del LP es:

$max \ c^Tx$

$Ax = b$

$x \geq 0$

No tiene ningún sentido para mí. No entiendo lo que está pasando. Le agradeceré que me lo explique.

gracias

Answer 1

Cuando se convierte un problema de optimización de la forma general a la forma estándar, así es como se tratan las variables que no tienen restricciones de signo.
Si $x$ es una variable sin restricción de signo, lo que significa que $x$ puede tomar valores tanto positivos como negativos. Por lo tanto, tanto $x \geq 0$ y $x < 0$ son posibles. Pero en la forma estándar, queremos que todas nuestras variables sean no negativas. Para resolver este problema, introducimos dos variables en lugar de $x$ , ambas positivas, de manera que $x$ podría tomar todo el espectro de valores positivos y negativos.
Si escribimos $x = x^+ - x^-$ donde ambos $x^+, x^- \geq 0$ son no negativos, entonces si $x^+ \geq x^-\ , x \geq 0$ y si $x^- < x^+ \ ,x <0$ . De este modo, cumplimos los criterios para convertir nuestra(s) variable(s) en forma estándar.