Transformación de las raíces de un polinomio

Question

Supongamos que existe un polinomio cúbico en x con raíces A,B,C y otro polinomio cúbico (en t) con raíces
1/(A-1), 1/(B-1), 1/(C-1)

se encuentra.

Mi libro de texto menciona dos formas de hacerlo. Una es utilizar las relaciones de vieta, lo que lleva mucho tiempo. Otra forma mencionada es dejar que t=1/(x-1), hacer que x sea el sujeto, y luego sustituir y simplificar. Sin embargo, no puedo entender esto. El hecho de que esta sea la relación entre las raíces no significa que todos los valores de x y t estén en esa relación, ¿verdad?

Además, si intento este método con más generalidad, es decir, tratando de encontrar un polinomio con raíces f(A),f(B),f(C) donde f(u) es alguna función invertible como e^u, parece fallar.

¿Podría alguien explicar el método adecuado para abordar estas cuestiones?

Answer 1

Suponga que tiene el polinomio cúbico $P(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ para el que tenías tres raíces reales o complejas $x_1, x_2, x_3$ entonces se puede decir que $P(x_i) = ax_i^3 + bx_i^2 + cx_i + d = 0$ para $i = 1,2,3$ .

Ahora digamos que quieres construir una nueva ecuación polinómica que tenga raíces $y_1, y_2, y_3$ donde $y_i = \frac 1{x_i-1}$ (suponiendo que ninguna de las raíces del original sea $1$ , por supuesto), entonces como dijo su referencia, puede cambiar el tema a $x_i$ es decir $x_i = 1 + \frac 1{y_i}$ y sustituirlo en la ecuación original. Sabes que $P(x_i) = 0$ , lo que implica que $P(1+\frac 1{y_i}) = 0$ también. Mediante la manipulación, puedes demostrar que esta nueva ecuación es una cúbica $Q(y_i) = 0$ . Por el mapeo explícito que ya has derivado, cada una de las tres raíces $y_i$ de esta nueva cúbica corresponderá a cada una de las tres raíces $x_i$ del cúbico original.

Ciertamente, este método funcionará para cualquier transformación invertible siempre que se tenga cuidado con las consideraciones de dominio y existencia, pero puede que no se obtenga una ecuación polinómica después de la transformación (como en tu caso con la función exponencial).

Answer 2

Dejemos que $A$ , $B$ y $C$ sean raíces del polinomio $x^3+ax^2+bx+c.$

Así, $$A+B+C=-a,$$ $$AB+AC+BC=b,$$ $$ABC=-c$$ y obtenemos: $$\sum_{cyc}\frac{1}{A-1}=\frac{\sum\limits_{cyc}(A-1)(B-1)}{\prod\limits_{cyc}(A-1)}=\frac{b+2a+3}{-c-b-a-1},$$ que da un coeficiente antes de $x^2$ en el nuevo polinomio: $$\frac{2a+b+3}{a+b+c+1}.$$ También, $$\sum_{cyc}\frac{1}{(A-1)(B-1)}=\frac{\sum\limits_{cyc}(A-1)}{\prod\limits_{cyc}(A-1)}=\frac{-a-3}{-a-b-c-1}=\frac{a+3}{a+b+c+1}$$ y $$\prod_{cyc}\frac{1}{A-1}=\frac{1}{-a-b-c-1}$$ y tenemos la respuesta: $$x^3+\frac{2a+b+3}{a+b+c+1}x^2+\frac{a+3}{a+b+c+1}x+\frac{1}{a+b+c+1}.$$ Hemos utilizado el teorema de Viete y este es un método correcto para resolver tu problema.

Además, puedes ver que usando una suma cíclica resulta bastante fácil.

Creo que el segundo método lleva más tiempo.

Dejemos que $x=\frac{1}{y-1}$ , donde $y$ es una raíz si el polinomio $x^3+ax^2+bx+c.$

Por lo tanto, ya que $y=\frac{x+1}{x},$ obtenemos: $$\left(\frac{x+1}{x}\right)^3+a\left(\frac{x+1}{x}\right)^2+b\left(\frac{x+1}{x}\right)+c,$$ que da el mismo resultado, pero con un poco más de cálculos.