¿Supremo en un intervalo real es igual a sumo en un "intervalo" racional para funciones continuas?

Question

Recientemente he leído el siguiente razonamiento en un artículo:

la cartografía $x\mapsto \sup_{s\in[a,b]} f(sx)$ , $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es medible por Borel, ya que el supremum sobre $s\in[a,b]$ es igual al supremum sobre $s\in[a,b]\cap\mathbb{Q}$ debido a la continuidad de $f$ y el hecho de que el sumo de una colección contable de funciones medibles es a su vez medible.

Aunque entiendo la última parte relativa a la mensurabilidad de un supremacía contable, no he podido encontrar recursos que demuestren que $$ \sup_{s\in[a,b]} f(s) = \sup_{s\in[a,b]\cap\mathbb{Q}} f(s) $$ para una función continua $f$ que probablemente se utilizó en la primera parte.
¿Puede alguien ayudarme con eso?

Answer 1

Claramente $$\sup_{s\in[a,b]} f(s) \geq \sup_{s\in[a,b]\cap\mathbb{Q}} f(s)$$ Supongamos por contradicción que $$M=\sup_{s\in[a,b]} f(s) > \sup_{s\in[a,b]\cap\mathbb{Q}} f(s)=m$$ y que $\varepsilon = \frac{M-m}2$ . Existe un $x\in [a,b]$ tal que $|M-f(x)|<\varepsilon.$ Existe una secuencia de números racionales $a\leq x_n\leq b$ tal que $x_n\to x$ . Desde $f$ es continua, $f(x_n)\to f(x)>m+\frac{\varepsilon}2$ como $n\to\infty$ .

Pero esto es absurdo, ya que $f(x_n)\leq m$ por cada $n$ .