El tiempo como operador hermitiano en la mecánica cuántica

Question

En la QM no relativista, por un lado tenemos las siguientes relaciones:

$$\langle x | P | \psi \rangle ~=~ -i \hbar \frac{\partial}{\partial x} \psi(x),$$

$$\langle p | X | \psi \rangle ~=~ i \hbar \frac{\partial}{\partial p} \psi(p).$$

Por otro lado, a pesar de las similitudes, las relaciones no pueden aplicarse directamente a la energía y al tiempo:

$$\langle t | H | \psi \rangle ~=~ i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(t),$$

$$\langle E | T | \psi \rangle ~=~ -i \hbar \frac{\partial}{\partial E} \psi(E).$$

Me pregunto cómo se puede demostrar matemáticamente que el "tiempo clásico" (es decir, sin QFT ni relatividad), a diferencia de su pariente cercano, la "posición", no es un operador hermitiano.

Le pido perdón si le parece que la pregunta es torpe o dispersa. Pero para ser honesto, si puedo señalar claramente dónde está el núcleo del problema, es posible que ya lo haya respondido por mí mismo :/

Answer 1

El tiempo no es una variable en la Mecánica Cuántica (QM), es un parámetro - de la misma manera que en la mecánica clásica (newtoniana).

Así, si se tiene un Hamiltoniano, por ejemplo, para el oscilador armónico, se tiene $\omega$ como parámetro, así como las masas de las partículas implicadas, digamos $m$ y también tienes el tiempo -aunque no es algo que aparezca explícitamente en el Hamiltoniano (recuerda la dependencia explícita del tiempo de la Mecánica Clásica: Paréntesis de Poisson, Transformaciones Canónicas, etc - de hecho, podrías obtener tu respuesta directamente de este tipo de argumentos).

En este sentido, al igual que no se tiene un "par de transformación" entre $m$ y $\omega$ , tampoco tienes una entre el tiempo y la Energía.

¿Qué dices para convencerte de que $\omega \neq -i\, \partial_m$ ? ¿Por qué no puedes usar este mismo argumento para justificar $E \neq -i\, \partial_t$ ? ;-)

Creo que Roger Penrose hace una buena ilustración de cómo funciona todo este marco en su libro El camino a la realidad: Una guía completa de las leyes del universo Revisa el capítulo 17.

Answer 2

El espectro energético está acotado desde abajo. Un operador temporal contradiría el teorema de Stone-von Neumann. Esto no es realmente un problema. Todo lo que significa es que tenemos límites en cuanto a la precisión de los relojes en la mecánica cuántica.

Answer 3

El momento en que se produce un evento, al igual que la posición en que se produce, es un observable. En general, la QM estipula que todos los observables deben ser operadores hermetianos. Pero la QM en realidad no construye un operador para el tiempo.

Se puede argumentar que como el espaciotiempo en QM es newtoniano y el tiempo allí tiene un estatus especial, entonces esta excepción está bien motivada. Sin embargo, la relatividad sugiere que el tiempo debe entenderse de forma similar al espacio. Esto significa que en la QM relativista o bien el tiempo tiene que ser promovido a un operador o la posición tiene que ser degradada de ser entendida como un observable. La primera teoría QM relativista significativa fue la ecuación de Dirac, que modelaba un solo electrón girando. En este caso, tomó la segunda opción: el tiempo se entiende sobre la misma base que la posición, no como operadores sino como coordenadas.

Esto estaba bien para una teoría de una partícula, pero los problemas aparecen de nuevo cuando intentamos generalizar la teoría de Dirac a dos partículas. Dyson escribió:

Este tipo de ecuación de Dirac de 2 partículas ya no es invariante relativista si damos a cada partícula una posición separada en el espacio, pero todas las mismo tiempo. Para evitar esto Dirac construyó la teoría de los muchos tiempos en la que cada electrón tiene su propia coordenada temporal privada y satisface su propia ecuación de Dirac. Esta teoría está bien en principio. Pero se vuelve irremediablemente complicada cuando se crean pares y se tienen ecuaciones con nuevas coordenadas temporales que aparecen y desaparecen repentinamente

La resolución de esta problemática está en la QFT, donde siguiendo a Feynman elegimos superficies espaciales entre las que evaluamos la amplitud cuántica en las historias entre ellas -también conocida como la integral de trayectoria-; y luego siguiendo a Schwinger podemos deshacernos de las historias problemáticas reformulándolas como un principio de acción del que -según Dyson- se desprenden simplemente las principales características de la QFT -por ejemplo, las relaciones de conmutación para los campos-.