Es cierto que los conmutadores de la gamma matrices de formar una representación de la Mentira de álgebra del grupo de Lorentz?

Question

Wikipedia reclamaciones (http://en.wikipedia.org/wiki/Gamma_matrices):

Los elementos $\sigma^{\mu \nu} = \gamma^\mu \gamma^\nu - \gamma^\nu \gamma^\mu$ formar una representación de la Mentira de álgebra del grupo de Lorentz.

El uso de la convención

$$ \gamma^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix},\quad \gamma^1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ \gamma^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & i & 0 \\ 0 & i & 0 & 0 \\ -i & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},\quad \gamma^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

He evaluado las matrices $\sigma^{\mu\nu}$ en Mathematica. Por ejemplo,

$$\sigma^{01} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Si este pertenece a la Mentira de álgebra para el grupo de Lorentz, a continuación, (me corrigen si estoy equivocado aquí) me sería de esperar que la $M_{01}(t) = \exp(it\sigma^{01})$ pertenecen al grupo de Lorentz, por lo $M_{01}^T(t) \eta M_{01}(t) = \eta$ debe sostener, donde $\eta = \operatorname{diag}(1, -1, -1, -1)$. Así que evalúa el uso de Mathematica y consiguió

$$M_{01}^T(t) \eta M_{01}(t) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\cos 4t & -i \sin 4t & 0 \\ 0 & -i \sin 4t & -\cos 4t & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

que no se parece a $\eta$. ¿Qué hice mal en la anterior?

Answer 1

Los productos y combinaciones lineales de matrices gamma forman un álgebra de clifford; las propiedades algebraicas de los elementos de este álgebra no dependen en modo alguno en el real de las matrices se utilizan para representar la base de los elementos.

Ayuda, entonces, a pensar en la gamma de matrices no como matrices, pero como vectores de la base para el espacio-tiempo de Minkowski. En particular, forman una base ortonormales. Por lo tanto, cuando digo "vector" en el siguiente, me refiero a una combinación lineal de las matrices gamma.

Un producto de $k$ vectores ortogonales se llama un $k$-cuchilla. Combinaciones lineales de $k$-cuchillas puede que ya no sea cuchillas, pero todavía puede ser llamado $k$-vectores. Ambos de estos se dice que tienen un "grado" de $k$.

Los objetos $\sigma^{\mu \nu}$ $\mu \neq \nu$ son de 2 hojas, o "bivectors". Debido a que la base es ortonormales, la estricta antisymmetrization no debe ser obligatorio:$\sigma^{\mu \nu} = 2 \gamma^\mu \gamma^\nu$$\mu \neq \nu$.

Tenga en cuenta que bivectors de la forma$\gamma^0 \gamma^i$$i = 1, 2, 3$, plaza de la siguiente manera:

$$(\gamma^0 \gamma^i)(\gamma^0 \gamma^i) = -\gamma^0 \gamma^0 \gamma^i \gamma^i = -(1)(-1) = +1$$

(De nuevo, interpretar esto como una matriz si es necesario. La vainilla álgebra de clifford, podríamos llamar a esto el escalares $1$.)

Como resultado, las exponenciales de, digamos, $\gamma^0 \gamma^1$, el rendimiento de las funciones hiperbólicas:

$$\exp(\gamma^0 \gamma^1 \phi) = \cosh \phi + \gamma^0\gamma^1 \sinh \phi$$

En el álgebra de clifford lenguaje, esto podría ser llamado un "rotor". Note la similitud con cuaterniones: álgebra de clifford puede generar el álgebra de cuaterniones en forma similar, utilizando bivectors de la forma$\gamma^i \gamma^j$$i \neq j$.

Deje $R = \exp(-\gamma^0 \gamma^1 \phi/2)$ y deje $R^\dagger = \exp(+\gamma^0 \gamma^1 \phi/2)$. Entonces un vector $a$ (lea: combinación lineal de las matrices gamma) se puede aumentar de la siguiente manera:

$$a' = RaR^\dagger$$

Este resultado es a menudo resultó geométricamente, teniendo en cuenta la reflexión de las operaciones en el impulso de avión. El problema que yo percibo es que se calcula que, en esencia, el rotor $R$, pero no todo el impulso mapa (que es de doble cara, como se puede ver aquí). Por lo tanto, se trató de impulsar la métrica utilizando sólo la mitad de las piezas que deben he utilizado.

Usted debe ser capaz de verificar que todo lo que he hecho aquí no requiere de una forma explícita de la gamma matrices como matrices; todas las propiedades a seguir, desde el básico de álgebra de clifford propiedades.

Un puro de tratamiento del álgebra de clifford de espacio-tiempo de Minkowski nunca debe usar el complejo imaginario $i$. Sólo debe aparecer en el explícito de la matriz de las formas de los vectores de la base.

Answer 2

El $M$s están en el bispinor representación del grupo de Lorentz. Los índices no son el espacio-tiempo de los índices, que son spinor índices. Las matrices deben satisfacer algo de la forma $$M \gamma^\mu M^{-1} = \Lambda_\nu^{\;\mu} \gamma^\nu.$$