Relación expectativa condicional y variable aleatoria bajo restricción específica de sus valores

Question

Intento establecer una relación entre la siguiente expectativa condicional y la variable aleatoria basada en la identidad dada:

Dejemos que $(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$ sea un espacio de probabilidad. Sea $X,Y \in \{0,\dots, n\}, n \in \mathbb{N}$ y $Z \in [0,1]$ sean variables aleatorias en dicho espacio. Supongamos que se cumple que \begin{align} \tag{1} \label{1} P(X=Y \mid Z = z) = z \quad \forall z \in [0,1] \end{align} ¿Cuál es la relación entre $\mathbb{E}[1_{X=Y} \mid Z]$ y $Z$ ?

Puedo demostrar que esto implica igualdad en la distribución. Sea $W = \mathbb{E}[1_{X=Y} \mid Z]$ , entonces para $w \in [0,1]$ \begin{align} P(W \leq w) = \int_0^w \mathbb{E}[1_{X=Y} \mid Z = z] \,f(z) \,dz \overset{\ref{1}}{=} \int_0^w z \,f(z) \,dz = P(Z \leq z) \end{align} Mis preguntas son:

1. ¿Es también cierta la otra dirección, es decir \ref {1} $\Leftrightarrow \mathbb{E}[1_{X=Y} \mid Z] \overset{P}{=} Z$ ?
2. Hace \ref {1} $\Leftrightarrow \mathbb{E}[1_{X=Y} \mid Z] \overset{a.s.}{=} Z$ ¿se mantiene?

Answer 1

La respuesta en 2. es: "sí" (por tanto, también la respuesta de 1. es: "sí").

$$\mathbb E\mathsf1_{X=Y}=P(X=Y)\tag2$$ y según el mismo principio: $$\mathbb E[\mathsf1_{X=Y}\mid Z=z]=P(X=Y\mid Z=z)\text{ for all }z\in[0,1]\tag3$$

Así que $(1)$ en su pregunta se puede traducir en: $$\mathbb E[\mathsf1_{X=Y}\mid Z=z]=z\text{ for all }z\in[0,1]\tag4$$ que a su vez viene a ser lo mismo que: $$\mathbb E[\mathsf1_{X=Y}\mid Z)=Z\tag5$$