Utilizamos la siguiente parametrización para la esfera unitaria: $\sigma(\theta,\phi)=(\cos\theta\cos\phi,\cos\theta\sin\phi,\sin\theta)$ . He calculado que los símbolos de Christoffel son $\Gamma^1_{11}=\Gamma^2_{11}=\Gamma^1_{12}=0, \Gamma^1_{22}=\sin\theta\cos\theta,\Gamma^2_{22}=0$ que coinciden con las respuestas que me dan en mis notas. Pero cuando calculo $\Gamma^2_{12}$ Me sale $-\sin\theta\cos\theta$ que aparentemente es incorrecto y debería ser $-\tan\theta$ . Mi razonamiento fue que $\Gamma^2_{12}=\sigma_\phi \cdot \sigma_{\theta\phi}=(-\cos\theta\sin\phi,\cos\theta\cos\phi,0)\cdot(\sin\theta\sin\phi,-\sin\theta\cos\phi,0)=-\sin\theta\cos\theta$ . No estoy seguro de lo que estoy haciendo mal - el mismo método funcionó para los otros cinco símbolos y no tengo idea de dónde un $\tan\theta$ término vendría. Se agradece cualquier ayuda.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?$\require{cancel}$ Se pueden calcular directamente los coeficientes métricos de esta parametrización como ( $x^1 = \cos\theta, x^2 = \phi$ )
$$ (g_{\mu\nu}) = \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & \cos^2\theta} ~\mbox{and} (g^{\mu\nu}) = \pmatrix{1 & 0 \\ 0 & 1/\cos^2\theta} $$
A partir de esto es bastante sencillo calcular $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$
$$ \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{1}{2}g^{\lambda\alpha}\left(\frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x^{\nu}}+ \frac{\partial g_{\alpha\nu}}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^{\alpha}}\right) $$
Tome $\lambda = 2$ , $\mu = 1$ y $\nu = 2$
\begin{eqnarray} \Gamma^{2}_{12} &=& \frac{1}{2}g^{2\alpha}\left(\frac{\partial g_{1\alpha}}{\partial x^{2}}+ \frac{\partial g_{\alpha2}}{\partial x^{1}} - \frac{\partial g_{12}}{\partial x^{\alpha}}\right) = \frac{1}{2}g^{22}\left(\cancelto{0}{\frac{\partial g_{12}}{\partial x^{2}}} + \frac{\partial g_{22}}{\partial x^{1}} - \cancelto{0}{\frac{\partial g_{12}}{\partial x^{2}}}\right) \\ &=& \frac{1}{2}\left(\frac{1}{\cos^2\theta}\right) \frac{\partial \cos^2\theta}{\partial \theta} = -\tan\theta \end{eqnarray}
Puedes calcular los otros componentes de la misma manera
$$ \Gamma_{11}^1 = \Gamma_{11}^2 = \Gamma_{12}^1 = \Gamma_{22}^2 = 0 $$
y
$$ \Gamma_{22}^1 = \sin\theta\cos\theta $$
Hay otra forma, y creo que es lo que pretendías en tu post, pero es completamente equivalente a mi otra respuesta, la idea es calcular
$$ \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{\partial x^\lambda}{\partial \sigma^\alpha}\frac{\partial^2 \sigma^\alpha}{\partial x^\mu \partial x^\nu} \tag{1} $$
Se puede obtener la cartografía inversa con bastante facilidad
$$ \theta = \arcsin \sigma^2 \equiv x^1 ~\mbox{and}~ \phi = \arctan \left(\frac{\sigma^2}{\sigma^1}\right) \equiv x^2 \tag{2} $$
Con esto tenemos
\begin{eqnarray} \Gamma^{2}_{12} &=& \frac{\partial x^2}{\partial \sigma^\alpha} \frac{\partial^2 \sigma^\alpha}{\partial x^1 \partial x^2} \\ &=& \frac{\partial x^2}{\partial \sigma^1} \frac{\partial^2 \sigma^1}{\partial x^1 \partial x^2} + \frac{\partial x^2}{\partial \sigma^2} \frac{\partial^2 \sigma^2}{\partial x^1 \partial x^2} + \frac{\partial x^2}{\partial \sigma^3} \frac{\partial^3 \sigma^1}{\partial x^1 \partial x^2} \\ &=& -\frac{\sigma^2 \sin\theta\sin\phi}{(\sigma^1)^2 + (\sigma^2)^2}-\frac{\sigma^1\sin\theta\cos\phi}{(\sigma^1)^2 + (\sigma^2)^2} \\ &=& - \tan\theta \tag{3} \end{eqnarray}
