estimación de los parámetros de la distribución t y ajuste con MLE

Question

Aquí está el ajuste de la distribución t por el método t de máxima verosimilitud en el libro Statistics and Data Analysis for Financial Engineering with R examples página 113 y 168.

Pero no puedo entender

Para el caso univariado (primera imagen):

1. ¿Cómo funciona la adaptación? ¿Es el método llamado expectation–maximization (EM) algorithm ?

2. Y entendí como primero obtenemos $\mu,\sigma$ mediante el ajuste, y luego utilizar el MLE para obtener el parámetro $\nu,$ ¿es correcto?

Para el caso multivariante (segunda imagen):

3. ¿Significa eso que primero calculamos $\nu,$ y luego utilizar la MLE para calcular $\mu$ y $\Lambda?$

4. Si es así, entonces cómo podríamos calcular $\nu$ con un desconocido $\mu$ y $\Lambda?$ Y la lógica se invierte totalmente en comparación con el caso univariante.

5. Creo que la estimación de los parámetros debería ser consistente entre los casos univariantes y multivariantes y debo tener un gran malentendido.

Answer 1

Esta es sólo una respuesta parcial, ya que aborda las preguntas univariantes.

El método en ese libro de texto te dice que maximices el logaritmo de la probabilidad por lo que está usando la máxima probabilidad (usando la notación impar en mi opinión ya que parece asumir injustificadamente que $\mu$ y $\sigma$ son conocidos y que muestra esos dos parámetros que no tienen nada que ver con un t -distribución - tal vez sea una errata en el libro).

También se puede utilizar el método de los momentos, en el que se equiparan los momentos de la muestra con los momentos esperados asociados. Para esta distribución se puede utilizar $E(X)=\mu$ , $Var(X)=\nu \sigma^2/(\nu-2)$ (para $\nu>2$ ), y $E[(X-\mu)^4]=\frac{3 \nu ^2 \sigma ^4}{(\nu -4) (\nu -2)}$ (para $\nu>2$ ). Si $\bar{x}$ es la media de la muestra, $s^2$ es la varianza de la muestra, y $m_4$ es el cuarto momento central de la muestra, entonces $\hat{\mu}=\bar{x}$ , $\hat{\sigma}^2=\frac{m_4 s^2}{2 m_4-3 s^4}$ y $\hat{\nu}=\frac{2 \left(2 m_4-3 s^4\right)}{m_4-3 s^4}$ . (La distribución es simétrica respecto a $\mu$ por lo que el tercer momento central no nos ayuda a estimar los parámetros. En otras palabras, el tercer momento central esperado es cero y, por tanto, no depende de ninguno de los parámetros).

Estos valores pueden utilizarse como valores de partida para un procedimiento iterativo de máxima verosimilitud (aunque creo que $\bar{x}$ será el estimador de máxima verosimilitud para $\mu$ ).