Descomposición formal de las series de potencia

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo algebraico lineal sobre $\mathbb C$ (decir $SL_r$ ) considere una serie de potencia formal $$g(t)\in G(\mathbb C((t)))$$ Mi pregunta es: ¿Es posible descomponer $g$ como $$g=ha$$ avec $h\in G(\mathbb C[1/t]) $ y $a\in G(\mathbb C[[t]])$

N.B: el caso importante que necesito es $SL_r$ y $GL_r$ .

Gracias

Answer 1

Intentémoslo por $G = GL_1$ . Entonces $G(\mathbb{C} [ 1/t]) = (\mathbb{C} [1/t])^\times = \mathbb{C}^\times$ . Entonces $g = t^{-1}$ no se descompone de la manera deseada.

Edición: Pero si quieres sustituir $\mathbb{C} [1/t]$ por $\mathbb{C}(t)$ en su pregunta, entonces la respuesta es sí, al menos para $GL_r$ . Véase Harbater, Formal Parcheando y añadiendo puntos de ramificación (1993), Lemma 2.