Si una topología contiene todos los subconjuntos infinitos, entonces es la topología discreta

Question

Estoy resolviendo la pregunta $8$ de los ejercicios del apartado 1.1. del capítulo 1 de "Topología sin lágrimas". La pregunta es la siguiente.

Dejemos que $X$ sea un conjunto infinito y $\tau$ sea una topología en $X$ . Si todo subconjunto infinito de $X$ está en $\tau$ , demuestre que $\tau$ es la topología discreta

Mi idea era demostrar que todo conjunto unitario está en la topología y por lo tanto la topología es discreta.

Elija un conjunto infinito $A$ de $X$ tal que $A^c$ también es infinito. $A$ et $A^c$ pertenecen a $\tau$ ya que son conjuntos infinitos. Ahora consideremos cualquier $x \in X$ . Tenga en cuenta que $A \cup \{x\}$ et $A^c \cup \{x\}$ pertenecen a $\tau$ ya que son conjuntos infinitos. Por lo tanto, su intersección que no es más que $\{x\} \in \tau$ por cada $x \in X$ .

El problema que tengo es que no sé cómo demostrar la primera frase del párrafo anterior. Estas son mis líneas de pensamiento para demostrarlas.

• Si $X$ es un conjunto contablemente infinito, entonces puedo enumerar los elementos son dejar que los elementos numerados Impares caigan en $A$ . Esto garantiza $A$ et $A^c$ son ambos infinitos.
• Si $X$ es incontable, entonces puedo elegir un subconjunto contablemente infinito y llamarlo $A$ .

¿Son rigurosos los argumentos anteriores? No estoy especialmente satisfecho con mi segundo argumento de elegir un subconjunto contablemente infinito de un conjunto incontable ya que no doy un procedimiento explícito de construcción del conjunto $A$ .

Además, ¿hay alguna otra forma más sencilla de responder a la pregunta original?

Answer 1

El argumento es perfecto, y Arturo ya te ha explicado que si utilizas el axioma de elección (contable) siempre puedes asegurar que existe ese conjunto $A$ . Además, su razonamiento para la existencia de tal conjunto $A$ es correcta cuando se formaliza en ZFC, utilizando el axioma de elección (pero, por supuesto, en el segundo caso, hay que demostrar utilizando AC que todo conjunto incontable tiene un subconjunto contablemente infinito).

Permíteme señalar aquí que lo que has hecho es lo mejor posible, es decir, que no hay manera de deshacerse de AC, y además que para demostrarlo, debes tener un subconjunto A de X tal que ambos $A$ et $A^c$ son infinitas.

Es consistente con ZF que existe un conjunto amorfo X (es decir, un conjunto infinito X tal que para cada subconjunto $A\subseteq X$ o bien $A$ o $X-A$ es finito). Entonces se puede tener una topología sobre X tal que todos los subconjuntos infinitos de X son abiertos, pero la topología no es la topología discreta.

Dejemos que $\tau$ sea la topología sobre X que consiste exactamente en los subconjuntos infinitos de X, junto con el conjunto vacío.

Veamos que es una topología. En efecto, $X$ et $\emptyset$ están en $\tau$ por definición (ya que X es infinito), y la unión de conjuntos abiertos es abierta, ya que la unión de un conjunto infinito con cualquier otra cosa también es infinita.

Supongamos ahora que A y B son subconjuntos infinitos de X. Supongamos $A \cap B$ es finito. Entonces $X-(A \cap B) = (X-A) \cup (X-B)$ debe ser infinito, ya que X es infinito. Pero como X es amorfo y $A$ , $B$ son infinitos, ambos $X-A$ et $X-B$ son finitos, por lo que $(X-A)\cup(X-B)$ también debe ser finito, una contradicción. Por lo tanto, si $A,B$ son infinitos también lo es $A \cap B$ y esto demuestra que la intersección de dos conjuntos abiertos es abierta.

Entonces, (X, $\tau$ ) es un espacio topológico con todos los subconjuntos infinitos de X abiertos, pero ningún subconjunto finito de X abierto (excepto el conjunto vacío), y en particular no discreto.