Equivalencia de conjuntos medibles de Lebesgue

Question

Que sea $I$ un intervalo finito y que sea $\lambda^*$ la medida exterior de Lebesgue. Prueba de que $B$$ \N - Subconjunto $$I$ es $\lambda^*$ -medible si y sólo si $\lambda^*(I)=\lambda^*(I$$ \N - La tapa $$B)+\lambda^*(I\cap(\mathbb{R}\smallsetminus$$ B))$ .

Podría probar que si $B$ es $\lambda^*$ -medible entonces $\lambda^*(I)=\lambda^*(I$$ \N - La tapa $$B)+\lambda^*(I\cap(\mathbb{R}\smallsetminus$$ B))$ pero no tengo ni idea de cómo probar la otra implicación. Si alguien me puede dar alguna pista se lo agradeceré mucho.

Answer 1

SUGERENCIA:

1. Por cada $B\subset \mathbb{R}$ tenemos $$\lambda^{\star}(B) = \inf_{A\supset B, A \text{measurable}}\lambda(A)$$

2. Para $B\subset I$ tenemos $$\lambda(I) - \lambda^{\star}(I\backslash B) =\sup_{A\subset B, A \text{measurable}}\lambda(A)$$

3. Para $B\subset I$ , si $$\sup_{A\subset B, A \text{measurable}}\lambda(A)=\inf_{A\supset B, A \text{measurable}}\lambda(A)$$ entonces $B$ es medible.