Intuición para el número cuántico del momento angular total

Question

Estoy tratando de construir una intuición sobre los estados de momento angular en la mecánica cuántica. Voy a utilizar $\vec{\boldsymbol{V}}$ para representar un operador de momento angular cuántico. Podría ser un momento angular orbital o de espín para cualquier tipo de partícula o sistema. Tomaré el $z$ para que sea el eje de cuantificación de referencia.

Mi pregunta general es suponer que tengo dos estados con diferente número cuántico de espín TOTAL, $V$ pero el mismo número cuántico de proyección de espín $m_V$ . ¿Cuál es la imagen intuitiva de la diferencia entre dos estados de este tipo? ¿O tal vez qué afirmación general puede hacerse sobre las diferencias entre dos estados de este tipo? Me centraré en los estados con $m_V=0$ ya que creo que debería ser el caso más sencillo de pensar, pero espero que las intuiciones puedan extenderse a proyecciones de momentos angulares más altos.

Por ejemplo, ¿cuál es la diferencia entre el $\vert n=3,l=2,m=0\rangle$ y $\vert n=3, l=1,m=0\rangle$ estados para el electrón del hidrógeno? Puedo buscar o simular el aspecto de estos estados y, por supuesto, tienen un aspecto diferente porque implican armónicos esféricos de diferentes órdenes. Sin embargo, no soy capaz de verbalizar lo que genéricamente los hace diferentes. Ya que $m=0$ para ambos estados son simétricos azimutalmente. Si miro los armónicos esféricos $Y_2^0$ y $Y_1^0$ Puedo ver que $Y_1^0$ es básicamente un hemisferio superior y uno inferior mientras que $Y_2^0$ tiene 3 (en lugar de 2) bandas azimutales así que eso ayuda..

Otro ejemplo que arroja algunos rayos a la intuición que podría construir a partir del ejemplo anterior es el caso de un singlete de espín frente a un triplete de espín. Sabemos que para dos espines $\frac{1}{2}$ partículas tenemos

$$\vert S=0,m_s=0\rangle = \frac{1}{2}\left(\vert \uparrow \downarrow \rangle - \vert\downarrow \uparrow\rangle \right)$$

Mientras que

$$\vert S=1,m_s=0\rangle = \frac{1}{2}\left(\vert \uparrow \downarrow \rangle + \vert\downarrow \uparrow\rangle \right)$$

El estado simétrico tiene espín total $1$ mientras que el estado antisimétrico tiene espín total $0$ . En este caso podemos ver de nuevo que el estado de espín total 1 es simplemente "diferente" que el caso de espín total 0, pero de nuevo no puedo articular exactamente de qué manera es diferente. Un caso más general de ver este ejemplo es cuál es la diferencia entre $\vert 0,0 \rangle$ Y $\vert 1,0 \rangle$ estados de espín intrínsecos independientemente de que ese estado haya surgido como la composición de múltiples sistemas de espín más pequeños o no.

He aquí algunas proposiciones incompletas sobre la diferencia que supone el espín total para un estado cuántico.

- $\vert n=3,l=2,m=0 \rangle$ y $\vert 1,0\rangle$ son diferentes de $\vert n=3,l=1,m=0\rangle$ y $\vert 0,0\rangle$ en el sentido de que pertenecen a diferentes multipletes de estados de momento angular. Por ejemplo, $\vert 1,0\rangle$ tiene algo en común con $\vert 1,-1 \rangle$ y $\vert1,+1 \rangle$ que $\vert 0,0\rangle$ no tiene en común con esos estados.

-Todos estos estados tienen $0$ proyección del momento angular a lo largo del $z$ eje. Así que algo que tienen en común es que NO debo imaginar que se produzca ninguna rotación para dichos estados (mientras que para $m_V \neq 0$ Puedo imaginarme la partícula o el espín intrínseco girando alrededor del $z$ eje de alguna manera). Sin embargo, si consideramos cómo son los estados en términos de estados base de $x$ o $y$ (en lugar de $z$ ) habrá diferencias. Por ejemplo, el estado singlete es de espín total 0, lo que significa que es más un escalar que un vector. Por lo tanto, si se mira en el $x$ , $y$ o $z$ base se verá igual. Es decir $m_x$ y $m_y$ y $m_z$ serían todos cero para un estado singlete. Sin embargo, para el estado triplete si $m_z=0$ entonces se encontraría la expresión en $x$ y $y$ para ser una superposición de $m_x=\pm 1$ o $m_y = \pm 1$ . Así que de alguna manera hay que tener en cuenta las múltiples dimensiones de la rotación. Se obtendrían resultados similares para el caso de la armónica esférica, en el que se considera el momento angular orbital.

-Representación irreductible, etc., etc. He intentado entender la teoría de la representación para el momento angular cuántico, pero nunca lo he conseguido. Estoy seguro de que la respuesta está probablemente muy bien explicada en ese formalismo, así que si alguien puede ayudarme a juntar las palabras correctas desde esta perspectiva sería genial.

-Junto con el último punto me pregunto si hay una respuesta simple de teoría de grupos a mis preguntas.

Breve exposición de la pregunta: El enunciado corto de mi pregunta es qué es lo que en particular hace que los estados de diferente momento angular total sean diferentes. O, tal vez, ¿qué tienen en común los estados del mismo momento angular total?

Answer 1

El número cuántico de momento angular total j le indica que debe utilizar una matriz (2j+1) x (2j+1) para rotar el vector componente (2j+1) que representa la partícula. Se dice que j etiqueta las diferentes representaciones del grupo de rotación.

Por ejemplo, un pión se transforma como un vector 1 (j=0) bajo rotaciones. Todas las rotaciones sólo toman el estado m=0 en sí mismo con un factor de fase.

Por ejemplo, un electrón se transforma como un vector 2 (j=1/2) bajo rotaciones. Las matrices de rotación (2 x 2) pueden convertir el estado m=-1/2 en combinaciones lineales de todos los estados m=-1/2,+1/2.

Por ejemplo, un $\rho$ se transforma como un 3-vector (j=1) bajo rotaciones. Las matrices de rotación (3 x 3) pueden convertir el estado m=0 en combinaciones lineales de todos los estados m=-1,0,+1.

Por ejemplo, un $\Delta$ barión se transforma como un 4-vector (j=3/2) bajo rotaciones. Las matrices de rotación (4 x 4) pueden convertir el estado m=-3/2 en combinaciones lineales de todos los estados m=-3/2,-1/2,+1/2,+3/2.

Por ejemplo, un gravitón se transforma como un vector 5 (j=2) bajo rotaciones. Las matrices de rotación (5 x 5) pueden convertir el estado m=0 en combinaciones lineales de todos los estados m=-2,-1,0,+1,+2.

Si bien es cierto que j $\hbar$ puede relacionarse con el momento angular mecánico, j en realidad sólo indica la representación del grupo de rotación que se debe utilizar para hacer girar un objeto.

Answer 2

Me he dado cuenta de que la respuesta a esta pregunta es en realidad bastante sencilla y me estaba mirando a la cara todo el tiempo. Mi segundo comentario sobre una posible respuesta tiene la clave. Me estaba centrando demasiado en lo que ocurría en el $z$ eje y no pensar en el $x$ y $y$ ejes.

Dije que como $m_z=0$ No me imagino que se produzca ninguna rotación. Bueno, eso sólo es cierto alrededor del $z$ eje. Si el $\vert 1,0\rangle$ se escribe en el $x$ base tenemos

$$\vert 1,0\rangle_z = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\vert 1,+1\rangle_x + \vert1,-1\rangle_x\right)$$

Es decir, el Estado $\vert 1,0\rangle$ no tiene momento angular en el $z$ PERO tiene un momento angular total distinto de cero, por lo que debe tener un momento angular en alguna parte. Pues bien, esto aparece (simétricamente) en el $x$ y $y$ direcciones en un sentido de superposición.

En resumen, me apresuré a pensar que $m_z=0$ significa que no hay rotación.

La respuesta a mi pregunta es que la diferencia entre estados con diferentes valores de $V$ pero el mismo valor para $m_V$ es que el estado con una mayor $V$ realmente tiene mayor momento angular en el $x$ y $y$ direcciones que el estado con la menor $V$ .