$\mathbb{P}(A|B)+\mathbb{P}(A^c|B^c)=1$ es falso en general

Question

Dejemos que $A,B$ sean algunos eventos en el espacio de probabilidad $\Omega$ . Demostrar que $$\mathbb{P}(A|B)+\mathbb{P}(A^c|B^c)=1$$ es falso en general.

Pensé en dar un ejemplo de eventos $A$ y $B$ son independientes pero entonces obtengo la ecuación correcta porque $$\mathbb{P}(A|B)+\mathbb{P}(A^c|B^c)=\frac{\mathbb{P}(A\cap B)}{\mathbb{P}(B)}+\frac{\mathbb{P}(A^c \cap B^c)}{\mathbb{P}(B^c)}=\mathbb{P}(A) + \mathbb{P}(A^c)=1.$$

Mi siguiente idea fue comprobar todos los demás casos como cuando $A \subset B$ o cuando $A=B$ pero todo parece funcionar bien. ¿Puedes ayudarme a pensar en un ejemplo?

Answer 1

$$P(A|B)+P(A^c|B^c)=1\\\iff \frac c{c+d}+\frac a{a+b}=1\\\iff 2ac+bc+ad=ac+ad++bc+bd\\\iff ac=bd\\\iff A \text{ and } B \text{ are }\textbf{independent events}.$$

La última equivalencia es de mi derivación anterior aquí .

Por lo tanto, la afirmación dada es no en general es cierto.

P.D. Decir que la afirmación dada es "falsa en general" puede sugerir que no puede ser verdadera, lo que no es del todo correcto.

P.P.D. Yo escribí esto Respuesta relacionada a otra pregunta formulada en la misma época.

Answer 2

Lo que es cierto es $$P(A\mid B)+P(A^c\mid B)=1.$$

Si su igualdad fuera cierta, significaría $$P(A^c\mid B)=P(A^c\mid B^c),$$ que es la definición de

$A^c$ y $B$ son independientes.

Se puede demostrar que esto es equivalente a

$A$ y $B$ son independientes.

Así que su igualdad es verdadera si y sólo si $A$ y $B$ son independientes.

Pero, por ejemplo, si $A$ y $B$ son el mismo evento, entonces $$P(A\mid A)+P(A^c\mid A^c)=2.$$

Entonces su igualdad no es cierta.

Si $B=A^c$ entonces se obtiene $$P(A\mid A^c)+P(A^c\mid A)=0.$$

Así que su suma puede ser realmente cualquier cosa entre $0$ y 2,2

Answer 3

Podrías dejar que $A$ sea cualquier evento con probabilidad estrictamente entre $0$ y $1$ y que $B=A^c$ .

Entonces $P(A|B)+P(A^c|B^c)=P(A|A^c)+P(A^c|A)=0$