¿Por qué la operación elemental de filas en la combinación de la matriz identidad y la matriz invertible da lugar a la matriz inversa?

Question

¿Por qué la operación elemental de filas en la combinación de la matriz identidad y la matriz invertible da lugar a la matriz inversa?
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 4 & 2 \end{pmatrix}$$

si combinamos $A$ con $I_{2\times 2}$ en el que $I$ es una matriz de identidad, y hacer la operación de fila elemental en él para obtener la matriz de identidad en el otro lado, el lado opuesto (bloque) produce la inversa de la matriz.
La pregunta es: ¿por qué es verdad?

Answer 1

Gran pregunta.

La razón por la que esto es cierto es porque, si una matriz dada $A$ es invertible, entonces existe una secuencia de matrices $E_1, E_2, \dots, E_m$ tal que

$$E_m E_{m-1} \cdots E_2 E_1 A = A^{-1}$$

Llamamos a estas matrices matrices elementales . Estas matrices se encargan de las operaciones de fila que podemos hacer en las matrices, como intercambiar filas, multiplicar una fila por una constante, o incluso multiplicar una fila por una constante y sumarla a otra fila (exactamente lo que hacemos en la eliminación guasiana). Por ejemplo, consideremos la matriz

$$E_1 = \left( \begin{array}{rc} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{array} \right)$$

Si multiplicamos por la izquierda su matriz $A$ por $E_1$ obtenemos

$$\left( \begin{array}{rc} 1 & 0 \\ -4 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cr} 1 & 3 \\ 0 & -10 \end{array} \right)$$

que es la matriz que obtenemos tras el primer paso de eliminación guassiana sobre su matriz $A$ ¡! Pero fíjate bien: si intentas encontrar la inversa de $A$ adjuntando la identidad a la derecha y reduciendo la fila $A$ hasta la identidad, entonces $E_1$ aparece a la derecha (en lugar de la identidad que adjuntaste) después de tu primer paso.

Ahora, considere

$$E_2 = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1/10 \end{array} \right)$$

y observar que

$$E_2 E_1 A = \left( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1/10 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cr} 1 & 3 \\ 0 & -10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

que es la matriz que se obtiene después de multiplicar la segunda fila por $-1/10$ algo que podría ser útil en nuestra eliminación guasiana porque queremos $A$ para ser finalmente la identidad. Si haces eso en tus pasos de tratar de invertir $A$ Obsérvese que, después de multiplicar la segunda fila, la matriz adjunta al lado derecho se convierte en

$$E_2 E_1 = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2/5 & -1/10 \end{array} \right)$$

Por último, considere

$$ E_3 = \left( \begin{array}{cr} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

y observar que

$$E_3 E_2 E_1 A = \left( \begin{array}{cr} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cr} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

que es la matriz que se obtiene tras el paso final de eliminación guassiana de $A$ (multiplicando la segunda fila por $-3$ y añadirlo a la primera fila de $A$ ). Pero, ¡mira!

$$E_3 E_2 E_1 = \left( \begin{array}{cr} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2/5 & -1/10 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cr} -1/5 & 3/10 \\ 2/5 & -1/10 \end{array} \right)$$

que es la inversa de $A$ y también ha aparecido en el lado derecho en lugar de la identidad que adjuntaste inicialmente.

Básicamente, cuando haces operaciones de fila con una matriz de identidad adjunta a la derecha, estás registrando todos estos pasos como matrices elementales. Cuando aplicas múltiples operaciones de fila, estos pasos se acumulan en el lado derecho. Este proceso de acumulación es lo mismo que multiplicar las matrices elementales que gobiernan estos pasos de eliminación guasiana. Al final, una vez $A$ se ha reducido a la identidad y se han registrado todos los pasos, se obtiene la identidad, y esto es lo mismo que multiplicar todas las matrices elementales que necesitabas juntas.

Answer 2

Consideremos una matriz en forma de bloque $(A|B)$ . Hagamos una transformación elemental. Esto equivale a multiplicar el conjunto por una matriz elemental $E$ de la izquierda. El resultado de esa única operación es $$ (A'|B')=E(A|B)=(EA|EB). $$ Si asumimos que $B$ es invertible, entonces también lo es $B'$ porque las matrices elementales son todas invertibles. También observamos que $B'^{-1}A'=B^{-1}A$ porque $$ B'^{-1}A'=(EB)^{-1}(EA)=(B^{-1}E^{-1})(EA)=B^{-1}A.\qquad(*) $$ Esto se generaliza fácilmente a una secuencia de operaciones de fila elementales $E_1,E_2,\ldots,E_n$ . Es decir, si $A_0=A, B_0=I$ y $A_{n}=E_nE_{n-1}\cdots E_2E_1A_0$ y $B_{n}=E_nE_{n-1}\cdots E_2E_1B_0$ entonces tenemos $$ B_{n}^{-1}A_{n}=B_0^{-1}A_0.\qquad(**) $$ La prueba va por inducción en $n$ y $(*)$ es a la vez el caso base y el paso inductivo (¿no te encanta cuando esto sucede).

De todos modos, si para alguna secuencia de matrices elementales tenemos $A_{n}=I$ Entonces... bueno, comprueba qué ecuación $(**)$ dice sobre $B_n$ en ese caso.

Answer 3

El método consiste en encontrar la matriz en una forma escalonada reducida.

Dejemos que $A$ sea una matriz regular de dimensión $n$ .

Consideremos la matriz de dimensión $n\times (2n)$

$$\left( A|I_n\right)$$

El método consiste en realizar operaciones elementales fila a fila a la matriz hasta obtener en el primer bloque (donde $A$ es) la forma escalonada reducida de $A$ , $RSF(A)$ .

Una vez conseguido, en el segundo bloque (donde teníamos inicialmente la identidad) será la inversa de $A$ . Es decir, tendremos $$\left( I_n|A^{-1}\right)$$ Justificación:

Sabemos que la forma escalonada reducida de $A$ se obtiene premultiplicando $A$ por una matriz elemental $E$ Es decir, $E\cdot A=RSF(A)$ . Además, como $A$ es regular, su $RSF$ es la identidad (caracterización de las matrices regulares). $$E\cdot A=RSF(A)=I_n\rightarrow A^{-1}=E$$ Así que, $$RSF\left( A|I_n\right)=\left( RSF(A)|I_n\right)=(EA|E)=(I_n|E)$$