Demostrar que p es una métrica en X

Question

Tengo un ejercicio que no me entra en la cabeza. Esencialmente $X$ es un conjunto no vacío y $p: X^2 \to \mathbb{R}$ satisface

(1) $0 \leq p(x,y) < +\infty$

(2) $p(x,y) = 0 \iff x=y$ y

(3) $p(x,y) \leq p(x,z) + p(y,z)$ .

¿Cómo puedo demostrar que p es una métrica en X? Claramente (1), y (2) son los dos primeros axiomas y parece que probando la simetría se probaría automáticamente la desigualdad del triángulo utilizando la relación $p(y,z) = p(z,y)$ pero no parece que haya forma de demostrarlo, ya que es un axioma. Gracias

Answer 1

Con $z=x$ obtenemos

$$p(x,y)\le p(x,x)+p(y,x)=p(y,x)$$ e intercambiar el papel de $x$ y $y$ obtenemos $$p(y,x)\le p(x,y)$$ y el resultado se deduce fácilmente.