John Hubbard me dijo recientemente que ha estado preguntando a la gente si hay superficies compactas de curvatura negativa en $\mathbb{R}^4$ sin obtener ninguna respuesta definitiva. Había supuesto que era posible, pero no se me ocurría un ejemplo fácil de la cabeza.
En $\mathbb{R}^3$ es fácil demostrar que las superficies de curvatura negativa no pueden ser compactas: lanza planos a tu superficie desde muy lejos. En el punto de primer contacto, tu plano y la superficie son tangentes. Pero la superficie tiene forma de silla de montar en todas partes, por lo que no puede ser tangente a tu plano sin atravesarlo, lo que contradice el primer contacto.
Este fácil argumento falla en $\mathbb{R}^4$ . ¿Se puede utilizar el fracaso del argumento fácil para construir un ejemplo? ¿Existe una fuente sencilla de superficies compactas de curvatura negativa en $\mathbb{R}^4$ ?
