Funciones BV y continuidad absoluta breve consulta

Question

Esto viene a complementar: Relación entre la variación total y la continuidad absoluta Me preguntaba si lo siguiente es válido:

Dejemos que $F$ sea una función de variación acotada en $[a,b]$ entonces $\int_{a}^{b}{|F'(x)|dx} = T_{F}(a,b)$ implica $F$ es absolutamente continua (mismas notaciones).

Cualquier ayuda es bienvenida.

Supongo que en realidad tenemos que si $G$ es una función continua creciente para la que $G'(x) < \infty$ a.e, entonces $G$ es absolutamente continua. (?)

Answer 1

Dejemos que $F$ sea una función de variación acotada en $[a,b]$ entonces $\int_{a}^{b}{|F'(x)|dx} = T_{F}(a,b)$ implica $F$ es absolutamente continua (mismas notaciones).

Sí. $T_F(a,b)$ es la norma de la medida $|dF|$ . En general tenemos la descomposición $F(x) = F_s(x) + \int_a^x F'(t)\ dt$ donde $F_s$ es singular con respecto a la medida de Lebesgue, y $T_F(a,b) = \||dF_s|\| + \int_a^b |F'(x)|\ dx$ . $T_F(a,b) = \int_a^b |F'(x)|\ dx$ si $dF_s = 0$ si $F(x) = \int_a^x F'(t)\ dt$ si $F$ es absolutamente continua.

Supongo que en realidad tenemos que si $G$ es una función continua creciente para la que $G'(x) < \infty$ a.e, entonces $G$ es absolutamente continua. (?)

No, eso está mal. $G'(x) < \infty$ a.e. para cualquier función creciente.

Answer 2

Otro enfoque para probar esto:

Desde entonces, $\int_{a}^{b}{|F'(x)|dx} = T_{F}(a,b)$ y sabemos que $\int_{c}^{d}{|F'(x)|dx}\le T_{F}(c,d)$ para cualquier $[c,d]\subset[a,b]$ podemos demostrar que $\int_{c}^{d}{|F'(x)|dx} = T_{F}(c,d)$ para todos los subintervalos $[c,d]$ en realidad.

Entonces para $\{(a_k,b_k)\}_{k=1}^n$ si $\sum_{k=1}^n(b_k-a_k)<\delta$ considere $\sum_{k=1}^n|F(b_k)-F(a_k)|\le\sum_{k=1}^nT_{F}(a_k,b_k)=\sum_{k=1}^n\int_{a_k}^{b_k}{|F'(x)|dx}=\int_{\cup_{k=1}^n(a_k,b_k)}|F'(x)|dx$ .

Entonces, como $F^{\prime}\in L^1$ tenemos que para cada $\epsilon>0$ existe $\delta>0$ de manera que siempre que $m(A)<\delta$ entonces $\int_A|F^{\prime}|<\epsilon$ . Aplicando esto a lo anterior podemos concluir que $F$ es absolutamente continua.