¿Puede el gráfico de $\tan^{-1}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}$ expresarse como $Ce^{-kx}\cos(\omega x + \phi)$ ?

Question

Después de graficar $\sin x$ Pensé en probar algo interesante. Quería trazar el ángulo $\theta$ que un punto $(x,\sin x )$ hace con el origen en el $y$ -eje, contra $x$ en el $x$ -eje.

$$\tan\theta = \frac{\sin x}{x}\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}$$

Gráfico $y = 20\times\theta$ (multiplicar por 20 a efectos gráficos):

Una parte me recordó el gráfico del oscilador amortiguado (concretamente, el $x>0$ parte). Eso me hizo preguntarme si era posible encontrar constantes $C,k,\omega,$ y $\phi$ tal que $$\theta = Ce^{-kx}\cos(\omega x + \phi)$$

Sin embargo, después de jugar con Grapher durante un tiempo, $y = \theta$ no parecía disminuir exponencialmente.

Eso me llevó a esta pregunta: ¿hay alguna forma analítica de encontrar real constantes $C,k,\omega,$ y $\phi$ tal que $\theta = Ce^{-kx}\cos(\omega x + \phi)$ ?

Además, ¿hay alguna complejo constantes $C,k,\omega, \text{and } \phi$ ?

Answer 1

El sobre de $\frac{\sin x}{x}$ es $\pm \frac{1}{x}$ y para los grandes $x$ , $\arctan \frac{1}{x} \approx \frac{1}{x}$ . Así que el decaimiento de la función es inverso a $x$ , no exponencial, y ninguna constante $k$ existe (real o complejo; una parte imaginaria a $k$ sólo introducirá una oscilación sinusoidal en la envolvente, además del decaimiento o crecimiento exponencial).

Answer 2

La amortiguación que se ve es

$$\frac{\arctan\dfrac{\sin x}x}{\sin x}.$$

Está muy cerca de la hipérbola $\dfrac1x$ , ya que permanece en la parte lineal de la tangente del arco.