¿Cómo demostrar que una función es siempre continua?

Question

Por ejemplo, ¿cómo podría demostrar que $\sin x$ es continua para ] $-\infty,\infty$ [ ?

Answer 1

Tiene más que eso, $\sin{x}$ es uniformemente continua por $\varepsilon-\delta$ definición.

Basta con elegir $\delta=\varepsilon$ y la implicación de la definición se mantiene, ya que $$|\sin{x}-\sin{a}|=|2\sin{\frac{x-a}{2}}\cos{\frac{x+a}{2}}|<2|\frac{x-a}{2}||1|=|x-a|,$$ donde utilizamos desigualdades conocidas $\sin{t}<t$ y $\cos{t}<1$ .

Answer 2

Dejemos que $x \in \mathbb{R}$ .

Toma $$\sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}.$$

Entonces cada una de las sumas parciales es continua. Véase aquí para demostrar que la expansión de la serie de potencias converge uniformemente (en el intervalo de convergencia.) Una secuencia de continuas converge uniformemente a $\sin(x)$ entonces $\sin(x)$ es continua en $x$ .

Answer 3

Eso depende de tu definición de sen(x). ¿Es sólo intuitivo o serie ou Fórmula de Euler ?

La última es la prueba más sencilla, utilizando la aritmética de las funciones continuas y el hecho de que la función exponencial es una función continua.

La prueba se puede elaborar incluso para la definición a través de la serie de potencias, véanse los resultados relativos a funciones analíticas .

Answer 4

Podrías demostrar que $\sin(x)$ pertenece a $C^{\infty}(\mathbb{R})$ . En efecto, la función es infinitamente diferenciable. Como una función que es diferenciable debe ser continua, la función original es continua. Esta idea de demostración supone que se puede tomar el hecho de que la derivada de $sin$ es $cos$ por supuesto. Si no lo tienes a tu disposición, bastaría con utilizar el argumento de la expansión de la serie de potencias ya contestado aquí.

Answer 5

La forma más fácil es calcular la derivada, y demostrar que la derivada no tiene puntos problemáticos. Este patrón no funciona en todos los casos. Por ejemplo, no funciona para $f = |x|$