Resolver una ecuación diferencial ordinaria mediante la transformada de Laplace

Question

Tengo problemas para resolver la ecuación diferencial. Puedo escribir las derivadas de las transformadas de Laplace pero no puedo hacer nada $$ \ddot y(t)+3y(t)=\sin(t)\text{ with } y(0)=1,\,\dot y(0)=2 $$

Answer 1

Creo que tengo una solución. Defina la transformada de Laplace como

\begin{equation*} \mathcal{L}_t[f(t)](s)=\int^{\infty}_{0}f(t)e^{-st}dt. \end{equation*}

Aplicando esto a ambos lados de la ecuación se obtiene

\begin{equation*} \mathcal{L}_t[y''(t)+3y(t)](s)=\mathcal{L}_t[\sin(t)](s)\\ \Rightarrow \mathcal{L}_t[y''(t)](s)+3(\mathcal{L}_t[y(t)](s)). \end{equation*}

Utilizando la identidad de la transformada de Laplace para las derivadas dobles se obtiene

\begin{equation*} 3(\mathcal{L}_t[y(t)](s))-(sy(0))+s^2\mathcal{L}_t[y(t)](s)-y'(0)=\mathcal{L}_t[\sin(t)](s)\\ \Rightarrow 3(\mathcal{L}_t[y(t)](s))+s^2(\mathcal{L}_t[y(t)](s))-sy(0)-y'(0)=\frac{1}{s^2+1}\\ \Rightarrow (s^2+3)(\mathcal{L}_t[y(t)](s))-sy(0)-y'(0)=\frac{1}{s^2+1}\\ \Rightarrow \mathcal{L}_t[y(t)](s)=\frac{y(0)s^3+y(0)s+y'(0)+y'(0)s^2+1}{s^4+4s^2+3}\\ \Rightarrow \mathcal{L}_t[y(t)](s)=\frac{1}{2(s^2+1)}-\frac{1}{2(s^2+3)}+\frac{sy(0)}{s^2+3}+\frac{y'(0)}{s^2+3}. \end{equation*}

Ahora calculamos las transformadas inversas de Laplace término a término para obtener:

\begin{equation*} y(t)=\frac{\sin(t)}{2}-\frac{\sin(\sqrt{3}t)}{2\sqrt{3}}+y(0)\cos(\sqrt{3}t)+\frac{y'(0)\sin(\sqrt{3}t)}{\sqrt{3}} \end{equation*}

Aplica las condiciones iniciales. ¿Ayuda eso?