Derivada de la forma cuadrática de las matrices de valor complejo

Question

Quiero tomar la derivada de $$\frac{\partial}{\partial W}(WS S^HW^H)$$ Donde $W\in \mathbb C^{N\times M}$ y $S\in \mathbb C^{M\times M}$ matriz simétrica. Mi pregunta, ¿es la derivada directa de la forma cuadrática que debería tener este aspecto $$2SS^HW$$

teniendo en cuenta que todas las matrices son de valor complejo?

Agradezco sus comentarios al respecto.

Answer 1

La derivada del mapa sesquilíneo

$$\Phi : (U,V) \mapsto USS^HV^H$$ es $$d\Phi(U,V).(A,B) = A SS^H V^H + USS^HB^H.$$ Por lo tanto, $$\frac{\partial}{\partial W}(WS S^HW^H).A = A SS^H W^H + WSS^HA^H.$$ Como $S$ se supone que es hermitiana, $A SS^H W^H = WSS^HA^H$ y por lo tanto $$\frac{\partial}{\partial W}(WS S^HW^H).A = 2 A SS^H W^H = 2WSS^HA^H$$