Consideremos un sistema cuántico en un estado propio $|x\rangle$ del operador de posición $\hat{x}$ lo que significa que $\hat{x}|x\rangle=x|x\rangle$ . Espero que el valor esperado de $\hat{x}$ será $x$ ya que el estado $|x\rangle$ es aquella en la que el sistema se encuentra en la posición $x$ . Para demostrarlo hacemos lo siguiente: \begin{equation} \langle \hat{x} \rangle = \langle x|\hat{x}|x\rangle = \langle x|x|x\rangle = x\langle x|x\rangle \end{equation} Ahora, $\langle x'|x\rangle=\delta(x-x')$ , por lo que creo que $\langle x|x\rangle$ sería $+\infty$ y luego: \begin{equation} \langle \hat{x} \rangle = \pm\infty?\quad (\text{depending on the sign of $x$}) \end{equation} Lo cual es claramente erróneo. ¿Cómo se calcula este valor medio?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La fórmula del valor esperado $\langle A\rangle=\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle$ se da para los estados normalizados $\langle\psi|\psi\rangle=1$ . Se puede generalizar como \begin{equation} \langle A\rangle=\frac{\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle}{\langle\psi|\psi\rangle} \end{equation} Por supuesto, esta expresión seguiría estando mal definida para $|x\rangle$ ya que no es un estado cuántico propiamente dicho, al igual que $\delta(x-x')$ en realidad no es una función sino una distribución.
Me gustaría añadir algo a la respuesta de @OON.
El espectro del operador de posición es puramente continuo, y eso significa que no hay ningún vector propio para él en $L^2(\mathbb{R})$ . Sus vectores propios están, de hecho, en el espacio de las distribuciones templadas $\mathscr{S}'(\mathbb{R})\supset L^2(\mathbb{R})$ . No obstante, existen "casi eigenvectores" de $\hat{x}$ en $L^2$ :
Dado cualquier $\epsilon>0$ y $x_0\in \mathbb{R}$ existe al menos un vector (en realidad muchos) $\psi_{x_0,\epsilon}\in L^2$ tal que: $$\int_{\mathbb{R}}x\; \bar{\psi}_{x_0,\epsilon}(x)\psi_{x_0,\epsilon}(x)\;\mathrm{d}x=x_0\; ,\; \int_{\mathbb{R}} \bar{\psi}_{x_0,\epsilon}(x)\psi_{x_0,\epsilon}(x)\;\mathrm{d}x =1\; ,$$ y $\mathrm{supp}(\psi_{x_0,\epsilon})\subseteq [x_0-\epsilon,x_0+\epsilon]$ .
Esta función está muy localizada en torno a $x_0$ (por lo que es casi una función propia de $\hat{x}$ con valor propio $x_0$ ), está normalizada y tiene la expectativa "correcta" (para que sea una función propia). Por último, el límite $\epsilon\to 0$ de $\psi_{x_0,\epsilon}$ (en el sentido de las distribuciones) produce la función propia "correcta" (generalizada) $\delta(x-x_0)$ (que sin embargo no es normalizable ya que no en $L^2$ ).
Esta construcción de funciones propias "aproximadas" es siempre posible para observables con espectro continuo, y es una consecuencia fácil pero útil del llamado teorema espectral para operadores autoadjuntos.
