¿Cómo me planteo mostrar esa integralidad $\int^{\infty}_0\sin^3(x^2+2x)$ converge de forma absoluta/condicional?

Question

¿Cómo me planteo mostrar esa integralidad $$\int^{\infty}_0\sin^3(x^2+2x)\,\mathrm dx$$ converge de forma absoluta/condicional? He calculado mediante un programa informático que $\int^{\infty}_0\sin^3(x^2+2x)\,\mathrm dx$ es efectivamente convergente, pero ¿cómo se hace exactamente?

Lo que he probado:

Dejemos que $U = x^2+2x, N\in \mathbb{N}, N>1$ entonces

$$\int^{2\pi N}_0|\sin^3(u)|\,\mathrm dx=\sum^{N-1}_{n=0}\int^{2\pi (n+1)}_{2\pi n}|\sin^3(u)|\,\mathrm du\leq \cdots$$

No estoy seguro de que lo que he hecho sea correcto. Agradecería una pista :)

Answer 1

Al hacer el sustitución $u=(x+1)^2$ encontramos que $\sqrt{u}=x+1$ y $\frac{du}{2\sqrt{u}}=dx$ . Entonces $$\int^{\infty}_0\sin^3(x^2+2x)\,dx=\int_1^{\infty}\frac{\sin^3(u-1)}{2\sqrt{u}}\,du.$$ Ahora, recordando que $4\sin^3(t)=3\sin(t)-\sin(3t)$ , demuestre que la última integral es convergente utilizando Prueba de Dirichlet para la convergencia de integrales impropias

¿Puedes llevarlo desde aquí?