La medida aditiva finita con signo es una medida con signo.

Question

Estoy leyendo el capítulo 19.3 de Royden Real Analysis Forth edition llamado: "El teorema de representación de Kantrovitch para el dual de $L^\infty$ " Da una definición de la medida con signo finitamente aditivo acotada $v$ como:

función de conjunto en un espacio medible que es finitamente aditiva y tiene una variación total finita de $v$ en todo el espacio $X$ .

Me pregunto por qué esto implica que se trata de una medida con signo. Hasta ahora, he deducido que $v$ del conjunto vacío es cero, y algunos otros hechos pero no puedo demostrar la aditividad contable.

¿Es esto cierto?

Gracias.

Answer 1

En general es falso que una medida finitamente aditiva de variación acotada sea contablemente aditiva. Para ello consideremos el espacio medible $(X,\Sigma) = (\mathbb{N},2^{\mathbb{N}})$ . Sea $\phi$ sea un límite de Banach en $\ell^\infty = L^\infty(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},\#)$ con $\#$ medida de recuento. Entonces dejemos que $$ \mu(A) = \phi(\mathbb{1}_A) \quad \text{for} \quad A \in 2^{\mathbb{N}}\,,$$ donde $1_A$ es la función característica (indicadora) de $A$ . Entonces $\mu$ es obviamente no negativo, finitamente aditivo y de variación acotada, ya que si $A = \bigsqcup_{k=1}^\infty A_k$ es una partición, entonces $$ \sum_{k=1}^\infty |\mu(A_k)| = \sum_{k=1}^\infty \mu(A_k) = \lim_{n \to \infty} \phi(1_{\bigsqcup_{k=1}^n A_k}) \leq ||\phi|| \lim_{n \to \infty} ||1_{\bigsqcup_{k=1}^n A_k}||_{\ell^\infty} \leq ||\phi|| < \infty\,. $$ Pero $\mu$ no es contablemente aditivo, ya que $\mu(\{n\}) = 0$ para todos $n \in \mathbb{N}$ pero $\mu(\mathbb{N}) = 1$ por la definición de límite de Banach.

Nótese que la variación total de una medida finitamente aditiva no es necesariamente contablemente aditiva.

Answer 2

Dejemos que $\nu$ sea el función de conjunto finitamente aditivo con signo en $\mathfrak M$ y $\|\nu\|$ su variación total. Entonces $\|\nu\|$ es una medida positiva acotada, y tenemos que $\lvert\nu(A)\rvert\le\|\nu\|(A)$ para todos $A\in\mathfrak{M}$ .

Para demostrar que $\nu$ es una medida con signo, basta con demostrar que $$ \nu(A)=\sum_{n\in\mathbb N}\nu(A_n), $$ siempre que $\{A_n\}_{n\in\mathbb N}$ es una secuencia de conjuntos medibles disjuntos con unión $A$ .

Dejemos que $S_n=A_1\cup\cdots\cup A_n$ , $T_n=A\setminus S_n$ . Entonces $$ \nu(A)-\nu(T_n)=\nu(S_n)=\nu(A_1)+\cdots+\nu(A_n). $$ Como $\|\nu(T_n)\|\to 0$ entonces $\nu(T_n)\to 0$ . A continuación, observe que $$ \Big|\,\nu(A)-\sum_{n\in\mathbb N}\nu(A_n)\Big|=\Big|\,\nu(S_n)+\nu(T_n)-\sum_{k=1}^n\nu(A_k)-\sum_{k>n}\nu(A_k)\Big| \\ =\Big|\,\nu(T_n)-\sum_{k>n}\nu(A_k)\Big|\le \lvert \nu(T_n)\rvert+\sum_{k>n}\lvert\nu(A_k)\rvert \le \| \nu(T_n)\|+\sum_{k>n}\|\nu\|(A_k) \\=\| \nu(T_n)\|+\|\nu\|\Big(\bigcup_{k>n}A_k\Big)=2\|\nu\|(T_n)\to 0. $$